Question

16．若已知点A的坐标为（2，0），将线段OA沿直线y=-x+m折叠，点O、A的对应点分别为O′、A′，使线段O′A′与反比例函数y=$\frac{8}{x}$恰有一个公共点，求m的取值范围．

Answer 1

分析 分两种情况进行讨论：线段AO的对称线段在第一象限，线段AO的对称线段在第三象限，分别根据轴对称的性质，运用待定系数法即可求得m的值，再根据线段O′A′与反比例函数y=$\frac{8}{x}$恰有一个公共点，即可得到m的取值范围．

解答 解：如图所示，当O的对称点O'落在反比例函数的图象上时，
根据直线OO'与直线y=-x+m互相垂直，可得直线OO'为y=x，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=\frac{8}{x}}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{x=2\sqrt{2}}\\{y=2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2\sqrt{2}}\\{y=-2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
∴O'（2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$），O₂（-2$\sqrt{2}$，-2$\sqrt{2}$），
∴线段OO'的中点坐标为（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），
把（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）代入直线y=-x+m，可得m=2$\sqrt{2}$，
如图，当A的对称点A“落在反比例函数的图象上时，
根据A'O'=AO=2，A'O'⊥x轴，可得直线AA'由直线OO'向下平移2个单位得到的，
∴直线AA'的解析式为y=x-2，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x-2}\\{y=\frac{8}{x}}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=2}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-4}\end{array}\right.$，
∴A“（4，2），A₁（-2，-4），
又∵A（2，0），
∴线段AA“的中点坐标为（3，1），
把（3，1）代入直线y=-x+m，可得m=4，
∴当线段O′A′与反比例函数y=$\frac{8}{x}$（x＞0）恰有一个公共点时，2$\sqrt{2}$≤m≤4；
同理，把线段OO₂的中点坐标（-$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$）代入直线y=-x+m，可得m=-2$\sqrt{2}$，
把线段AA₁的中点坐标（0，-2）代入直线y=-x+m，可得m=-2，
∴当线段O′A′与反比例函数y=$\frac{8}{x}$（x＜0）恰有一个公共点时，-2$\sqrt{2}$≤m≤-2；
综上所述，m的取值范围为2$\sqrt{2}$≤m≤4或-2$\sqrt{2}$≤m≤-2．

点评 本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题以及一次函数图象与几何变换的运用，解决问题的关键是运用分类讨论的思想，画出图形进行分析．解题时注意：直线y=-x+m与直线y=x互相垂直．