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    （2012•翔安区质检）如图，已知以点A（2，-1）为顶点的抛物线经过点B（4，0）．
    （1）求该抛物线的解析式；
    （2）设点D为抛物线对称轴与x轴的交点，点E为抛物线上一动点，过E作直线y=-2的垂线，垂足为N．
    ①探索、猜想线段EN与ED之间的数量关系，并证明你的结论；
    ②抛物线上是否存在点E使△EDN为等边三角形？若存在，请求出所有满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）设出抛物线解析式y=a（x-h）2+k，依据它的顶点坐标和所经过的B点坐标，即可求出抛物线的解析式；
    （2）①根据已知，很容易就可以得到D点的坐标，E点为动点，分情况讨论：当点E与B重合时；当点E与O重合时；当点E与A重合时；当点E不与B、O、A重合时，结合抛物线解析式，设出E点的坐标，依据勾股定理，求出DE关于x、y的表达式，然后，根据E点的横坐标和N点的横坐标相同，求出EN关于x、y的表达式，即可看出它们相等；
    ②提出假设，根据已知点的坐标求证相关点的坐标，便可得知相关线段的长度，即可求证E点的坐标．
    解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-h）2+k，
    ∵抛物线的顶点A（2，-1）且过点B（4，0），
    ∴y=a（x-2）2-1，
    且0=4a-1，
    ∴a=
    1
    4
    ，
    ∴抛物线的解析式为y=
    1
    4
    （x-2）2-1=
    1
    4
    x2-x；

    （2）①猜想：DE=NE，
    证明：∵点D为抛物线对称轴与x轴的交点，
    ∴得D（2，0），
    当点E与B重合时，
    ∵D（2，0），B（4，0），
    ∴ED=2，
    ∵过E作直线y=-2的垂线，垂足为N，
    ∴EN=2，
    ∴DE=EN
    当点E与O重合时，
    ∵D（2，0），
    DE=2，EN=2，
    ∴DE=EN
    当点E与A重合时，
    ∵D（2，0），
    DE=2，EN=2，
    ∴DE=EN
    当点E与A重合时，
    ∵A（2，-1），EN=2
    ∴DE=1，EN=1，
    ∴DE=EN，
    当点E不与B、O、A重合时，
    设E点坐标为(x，
    1
    4
    x2-x)    ，EN交x轴于点F，
    在Rt△DEF中，DE2=DF2+EF2=（x-2）2+y2，
    又∵NE=y+2，
    ∴NE2=y2+4y+4=y2+4(
    1
    4
    x2-x)+4    =y2+x2-4x+4=（x-2）2+y2，
    ∴DE=NE，
    综上所述，DE=NE；

    ②答：存在，
    当点E在x轴上时△EDN为直角三角形，点E在x轴下方时△EDN为钝角三角形，所以只当E在x轴上方时△EDN才可能为等边三角形，
    理由一：若△EDN为等边三角形，
    ∵DE=NE=DN，且EN⊥x轴，
    ∴EF=FN=2，
    ∴y=
    1
    4
    x2-x=2，
    解得　x=2±2
    		3
    ，
    ∴点E的坐标为(2+2
    		3
    ，2)和(2-2
    		3
    ，2)    ，
    理由二：若△EDN为等边三角形，
    ∵DE=NE=DN，且EN⊥x轴，
    ∴∠EDF=30°，EF=FN=2，
    在Rt△DEF中，tan∠EDF=
    EF
    DF
    ，
    ∴DF=
    EF
    tan∠EDF
    =
    2
    tan30°
    =2
    		3
    ，
    ∵DA是抛物线的对称轴，且D（2，0），
    ∴根据抛物线的对称性得点E的坐标为(2+2
    		3
    ，2)和(2-2
    		3
    ，2)    ．
    点评：本题主要考查二次函数解析式的确定，根据解析式求点的坐标、勾股定理等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法
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    1
    a
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