Question

【题目】在平面直角坐标系中，抛物线

（1）当时，求抛物线的顶点坐标；

（2）已知点，抛物线与轴交于点（不与重合），将点绕点逆时针旋转90°至点，

①直接写出点的坐标（用含的代数式表示）；

②若抛物线与线段有且仅有一个公共点，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）(3，2)；（2）①(5－2a，2)；②－1＜a＜或a=－2或a=－10

【解析】

（1）将a代入抛物线，用配方法求顶点；

（2）①存在3种情况，具体情况见分析.逆时针旋转后，AC之间的距离即为点B横坐标的绝对值，纵坐标为2；

（2）②依旧按照2种情况分析，当2a－3＞2时，画图发现，一定无交点；当2a－3＜2时，首先可以确定抛物线过定点(1，－2)和(2，1)，且点C在点A的下方，然后在用数形结合的方法，再细分为抛物线开口向上和开口向下的情况求解

（1）将a=－2代入抛物线得：

配方得：

∴顶点坐标为(3，2)

（2）①∵点C是抛物线与y轴的交点

∴当x=0时，y=2a－3

∴点C(0，2a－3)

分为2种情况进行讨论：

情况一：2a－3＞2；

情况二：0＜2a－3＜2；

情况三：2a－3＜0；

分析情况一，逆时针旋转90°图形如下：

AC=2a－3－2=2a－5，∴AB=AC=2a－5

∴点B的横坐标为：－(2a－5)=5－2a，纵坐标为：2

∴B(5－2a，2)

情况二、三同理，也得到B(5－2a，2)

∴B(5－2a，2)

②抛物线的对称轴为：

情况一：当2a－3＞2，即a＞时

点C在点A的上方，抛物线的开口向上，对称轴在y轴右侧，草图如下：

则抛物线与线段AB一定无交点

情况二：当2a－3＜2，即a＜时

∵抛物线

化简得：

故抛物线过定点：(1，－2)，(2，1)

在求解过程中，还需要讨论抛物线的开口，需要继续细分：

第一种情况：当抛物线开口向下，a+1＜0，即a＜－1时，图形如下

抛物线过定点(1，－2)，(2，1)，且开口向下，与线段AB仅有一个交点，则抛物线一定如上图所示，即定点在AB线段上，即定点的纵坐标为2

根据抛物线解析式，定点纵坐标为：

化简得：(a+2)(a+10)=0，解得：a=－2或a=－10

第二种情况，抛物线开口向上，a+1＞0，即a＞－1，且a＜，即：－1＜a＜时，图形如下：

抛物线过定点(1，－2)，(2，1)，且开口向上，与线段AB仅有一个交点，则抛物线一定如上图所示(临界点)，即当抛物线的右侧刚好经过点B时为临界点

∵B(5－2a，2)

∴只需当x=5－2a时，y＞2即可

即：

化简得：

解得：－1＜a＜或a＞(舍)

综合得：1＜a＜或a=－2或a=－10