【题目】如图,直线与x轴交于点B,与y轴交于点A,抛物线
经过A,B两点,与x轴的另一交点为C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)将△ABC以每秒1个单位的速度沿射线AB方向平移,平移后的三角形记为△DEF,平移时间为t秒,0≤t≤5,平移过程中EF与抛物线交于点G.
①当FG:GE=3:2时,求t的值;
②△DEF与△AOB重叠部分面积为S,直接写出S与t的函数关系式.
【答案】(1)y=x2﹣
x﹣4;(2)①t=
;②S=
【解析】
(1)点A、B的坐标分别为:(0,﹣4)、(3,0),c=﹣4,抛物线的表达式为:y=x2+bx﹣4,将点B的坐标代入上即可求解;
(2)①设点E(x,t),FG:GE=3:2,则3EG=2FG,即3(3+
﹣x)=2(x+2﹣
),即可求解;
②当0<t≤2时,S=S△BRF﹣S△OHR;②当2<t≤5时,S=OB×|yD|,即可求解.
解:(1)直线与x轴交于点B,与y轴交于点A,
令y=0,则x=3,令x=0,则y=﹣4,
故点A、B的坐标分别为:(0,﹣4)、(3,0),
c=﹣4,抛物线的表达式为:y=x2+bx﹣4,
将点B的坐标代入上式并解得:b=﹣,
故抛物线的表达式为:y=x2﹣
x﹣4;
(2)设△ABC沿AB移动了t个单位,则向右移动了t个单位、向上移动了
t个单位,
则点E、F、D的坐标分别为:(3+t,
t),(﹣2+
t,
t)、(
t,﹣4+
t);
①设点E(x,t),
FG:GE=3:2,则3EG=2FG,
即3(3+﹣x)=2(x+2﹣
),
化简得:x=1+,
将点E(1+,
)的坐标代入抛物线表达式并整理得:
3t2+3t﹣50=0,
解得:t=(不合题意的值已舍去);
②当0<t≤2时,
如下图所示,设直线FD与x、y轴分别交于点R、H,
由点A、C的坐标可得,直线AC的表达式为:y=﹣2x﹣4,
则设直线FD的表达式为:y=﹣2x+b,
将点D的坐标代入上式并解得:b=2t﹣4,
故直线FD的表达式为:y=﹣2x+2t﹣4,
则点R、H的坐标分别为:(t﹣2,0)、(2t﹣4);
S=S△BRF﹣S△OHR
=BR×|yD|﹣
×OR×OH
=(3﹣t+2)(﹣
t+4)﹣
(2﹣t)(4﹣2t)
=﹣t2+6;
②当2<t≤5时,
S=OB×|yD|=
×3×(4﹣
t)=﹣
t+6;
综上,S=.
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【题目】如图,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数的图象交于二、四象限内的A、B两点,与x轴交于C点,点A的坐标为(﹣2,3),点B的坐标为(4,n).
(1)求该反比例函数和一次函数的解析式;
(2)在x轴上是否存在点P,使△APC是直角三角形?若存,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】学校计划选购甲、乙两种图书作为“校园读书节”的奖品.已知甲图书的单价是乙图书单价的1.5倍;用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本.
(1)甲、乙两种图书的单价分别为多少元?
(2)若学校计划购买这两种图书总的经费不超过1100元,要求购买的乙种图书是甲种图书的2倍,则甲种图书至多能购买多少本?
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【题目】已知关于x的二次函数y=ax2-(2a+2)x+b(a≠0)在x=0和x=6时函数值相等.
(1)求a的值;
(2)若该二次函数的图象与直线y=-2x的一个交点为(2,m),求它的解析式;
(3)在(2)的条件下,直线y=-2x-4与x轴,y轴分别交于A,B,将线段AB向右平移n(n>0)个单位,同时将该二次函数在2≤x≤7的部分向左平移n个单位后得到的图象记为G,请结合图象直接回答,当图象G与平移后的线段有公共点时,n的取值范围.
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【题目】为提高饮水质量,越来越多的居民选购家用净水器.我市飞龙商场抓住商机,从厂家购进了A、B两种型号家用净水器共100台,A型号家用净水器进价是150元/台,B型号家用净水器进价是250元/台,购进两种型号的家用净水器共用去19000 元.
(1)求A、B两种型号家用净水器各购进了多少台;
(2)为使每台B型号家用净水器的毛利润是A型号的2倍,且保证售完这100台家用净水器的毛利润不低于5600元,求每台A型号家用净水器的售价至少是多少元? (注: 毛利润=售价一进价) .
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【题目】如图所示,二次函数(
,
,
是常数,
)的图象的一部分与
轴的交点
在
与
之间,对称轴为直线
.下列结论:①
;②
;③
;④
(
为实数);⑤当
时,
.其中,正确结论的个数是( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
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【题目】如图1,在中,∠B=90°,
,点D,E分别是边BC,AC的中点,连接
将
绕点C按顺时针方向旋转,记旋转角为
.
问题发现:
当
时,
_____;
当
时,
_____.
拓展探究:
试判断:当时,
的大小有无变化?请仅就图2的情况给出证明.
问题解决:
当旋转至A、D、E三点共线时,直接写出线段BD的长.
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(,0),与y轴的交点B在(0,0)和(0,﹣1)之间(不包括这两点),对称轴为直线x=
.则下列结论:① x>3时,y<0;② 4a+b<0;③﹣
<a<0;④ 4ac+b2<4a.其中正确的是( )
A.②③④B.①②③C.①③④D.①②④
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【题目】如图,平面直角坐标系中,直线与
轴、
轴分别交于点
、
,直线
与
轴、
轴分别交于点
、
,
与
相交于点
,线段
、
的长是一元二次方程
的两根
,
,点
的横坐标为3,反比例函数
的图象经过点
.
(1)若直线与反比例函数图象上除点
外的另一交点为
,求
的面积;若点
在
轴上,若点
在
轴上,求
的最小值..
(2)若点在坐标轴上,在平面内是否存在一点
,使以点
、
、
、
为顶点的四边形是矩形且线段
为矩形的一条边?若存在,直接写出符合条件的
点坐标;若不存在,请说明理由.
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