已知:一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2.
(1)求q关于p的关系式;
(2)求证:抛物线y=x2+px+q+1与x轴总有交点;
(3)当p=-1时,(2)中的抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,A在B的左侧,若P点在抛物线上,当S△BPC=4时,求P点的坐标.
分析:(1)将2代替一元二次方程x2+px+q+1=0中的x即可得到pq之间的关系式;
(2)证明抛物线与x轴总有交点即可证明其根的判别式中大于零即可;
(3)利用p=-1求得抛物线的解析式,利用围成的三角形的面积求得P点的坐标即可.
解答:(1)解:∵方程的根为2,
∴4+2p+q+1=0,
∴q=-2p-5;
(2)证明:△=p
2-4(q+1),
=p
2-4(-2p-5+1),
=p
2+8p+16,
=(p+4)
2,
∵(p+4)
2≥0,
∴△≥0,
∴抛物线y=x
2+px+q+1与x轴总有交点;
(3)解:当p=-1时,q=-2×(-1)-5=-3,
∴抛物线的解析式为:y=x
2-x-2.
∵B(2,0)C(0,-2),
∴BC=
2,∠OBC=45°.
∵S
△PBC=4.
∴
BC•hBC=4.
∴
hBC=2.
过B点作BD⊥BC交y轴于点D,
∴DO=BO=CO,
∴D点的坐标为:(0,2),
∴BD=
2,
过D点作DE∥BC交x轴于点E,
∵∠ODB=∠OBD=45°∠EDB=90°,
∴∠EDO=45°,
∴E(-2,0),
设直线DE的解析式为y=kx+b(k≠0),
∴
,
∴解得
,
∴直线DE的解析式为y=x+2.
设直线DE与抛物线的交点P(x,y),
∴
,
∴
,
∴
p1(1-,3-),
p2(1+,3+).
点评:本题考查了函数综合知识,函数综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型.近几年的中考压轴题多以函数综合题的形式出现.解决函数综合题的过程就是转化思想、数形结合思想、分类讨论思想、方程思想的应用过程.