Question

5．已知抛物线y=ax²+bx+3（a≠0）经过A（3，0）、B（4，1）两点，且与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，设抛物线与x轴的另一个交点为D，在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积是△BDA面积的2倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把A（3，0）、B（4，1）两点代入抛物线解析式，列出方程组，解方程组即可解决问题．
（2）取点E（1，0），作EP∥AB交抛物线于点P．此时△PAB的面积是△DAB的面积的两倍，求出直线EP的解析式，列方程组即可求出交点P坐标．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+3（a≠0）经过A（3，0）、B（4，1）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b+3=0}\\{16a+4b+3=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$．
∴抛物线的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+3；

（2）∵抛物线与x轴的交点的纵坐标为0，
∴$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+3=0，
解得：x₁=3，x₂=2，
∴点D的坐标为：（2，0），
取点E（1，0），作EP∥AB交抛物线于点P，
∵ED=AD=1，∴此时△PAB的面积是△DAB的面积的两倍，
∵直线AB解析式为y=x-3，
∴直线EP为y=x-1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{5}{2}x+3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{7-\sqrt{17}}{2}}\\{y=\frac{5-\sqrt{17}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{7+\sqrt{17}}{2}}\\{y=\frac{5+\sqrt{17}}{2}}\end{array}\right.$，
∴点P坐标（$\frac{7-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{5-\sqrt{17}}{2}$）或（$\frac{7+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{5+\sqrt{17}}{2}$）．

点评 本题考查二次函数与x轴交点问题、解题的关键是取点E（1，0）这个特殊点，学会添加辅助线的方法，本题体现了转化的思想，把求点P坐标转化为求方程组的解，属于中考常考题型．