(1)请观察:25=52.1225=352.112225=3352.11122225=33352-写出表示一般规律的等式.并加以证明．(2)26=52+12.53=72+22.26×53=1378.1378=372+32．任意挑选另外两个类似26.53的数.使它们能表示成两个平方数的和.把这两个数相乘.乘积仍然是两个平方数的和吗?你能说出其中的道理吗?注:有人� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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（1）请观察：25=5²，1225=35²，112225=335²，11122225=3335²…写出表示一般规律的等式，并加以证明．
（2）26=5²+1²，53=7²+2²，26×53=1378，1378=37²+3²．任意挑选另外两个类似26、53的数，使它们能表示成两个平方数的和，把这两个数相乘，乘积仍然是两个平方数的和吗？你能说出其中的道理吗？
注：有人称这样的数“不变心的数”．数学中有许多美妙的数，通过分析，可发现其中的奥秘．
瑞士数学家欧拉曾对26（2）的性质作了更进一步的推广．他指出：可以表示为四个平方数之和的甲、乙两数相乘，其乘积仍然可以表示为四个平方数之和．即（a²+b²+c²十d²）（e²+f²+g²+h²）=A²+B²+C²+D²．这就是著名的欧拉恒等式．

考点：完全平方公式

专题：新定义,规律型

分析：（1）由题意已知25=5²，1225=35²，112225=335²，11122225=3335²，从中发现规律：

11…1

(n-1)个

22…2

n个

5=（

33…3

(n-1)个

5）²，利用完全平方式的性质进行证明；
（2）由题意可设m=a²+b²，n=c²+d²，求出mn的成绩，从而发现规律．

解答：解：（1）经观察，发现规律：

11…1

(n-1)个

22…2

n个

5=（

33…3

(n-1)个

5）²，
∴（

33…3

(n-1)个

5）²=（

33…3

n个

+2）²=（

99…9

n个

+2）²，
=[

（10n-1）+2]²=（

10n+5

）²=

102n

10n+1

102n-1

10n+1-1

25+2

11…1

2n个

11…1

(n+1)个

+3
=

11…1

(n-1)个

22…2

n个

5；

（2）一般地，设m=a²+b²，n=c²+d²，
则mn=（a²+b²）（c²+d²）=a²c²+b²d²+b²c²+a²d²=a²c²+b²d²+2abcd+b²c²-2abcd+a²d²=（ac+bd）²+（bc-ad）²或（ac-bd）²+（bc+ad）²．

点评：此题考查乘法公式和完全平方式的形式，要善于观察发现规律，此题难度较大．

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．

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