Question

【题目】如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”.

如：，，，因此，，这三个数都是神秘数.

(1)是神秘数吗？为什么？

(2)设两个连续偶数为和(其中取非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是的倍数吗？为什么？

(3)①若长方形相邻两边长为两个连续偶数，试说明其周长一定为神秘数.

②在①的条件下，面积是否为神秘数？为什么？

Answer 1

【答案】（1）是，见详解；（2）是，见详解；（3）①见详解，②是，见详解

【解析】

（1）根据“神秘数”的定义，只需看能否把28这个数写成两个连续偶数的平方差即可判断；
（2）运用平方差公式进行计算，进而判断即可；
（3）①运用周长公式进行计算，进而判断即可，②运用面积公式进行计算，进而判断即可．

解：（1）28是“神秘数”，理由如下：
∵28=82-62，能表示为两个连续偶数的平方差，
∴28是“神秘数”；
（2）“神秘数”是4的倍数．理由如下：
∵（2k+2）2-（2k）2=（2k+2+2k）（2k+2-2k）=2（4k+2）=4（2k+1），
∴“神秘数”是4的倍数；

（3）①设两个连续的偶数为：2k，2k+2(其中取非负整数)，

则周长=，
而由（2）知“神秘数”可表示为4（2k+1），
∴长方形相邻两边长为两个连续偶数，则其周长一定为神秘数．

②长方形的面积=，

∵取非负整数，

∴在①的条件下，面积是神秘数.