Question

15．如图，在△ABC中，D是AB的中点，E是BC上的一点，且BE=4EC，CD与AE相交于点F，若△CEF的面积为1，则△ABC的面积为（　　）

• A． 24
• B． 25
• C． 30
• D． 32

Answer 1

分析 解法一：作辅助线，构建平行线，利用三角形中位线定理得：DG=$\frac{1}{2}$BE，与已知BE=4EC相结合得出DG与EC的比，因为△DGF∽△CEF，根据面积比等于相似比的平方可知S_△DFG=4，可依次得出△DFE、△DEC、△BDE、△BDC的面积，由此得出结论．
解法二：如图2，作辅助线，利用同高三角形面积的比就是对应底边的比得：S_△BEF=4S_△EFC=4，证明△DGF∽△CEF，则$\frac{DF}{FC}=\frac{DG}{EC}=2$，求S_△BDF=2S_△BFC=10，最后根据三角形中线平分面积的性质得结论．

解答 解：解法一：如图1，过D作DG∥BC，交AE于G，则△DGF∽△CEF，
∵AD=BD，
∴AG=GE，
∴DG=$\frac{1}{2}$BE，
∵BE=4EC，
∴$\frac{DG}{EC}$=2，
∵△DGF∽△CEF，
∴$\frac{{S}_{△DFG}}{{S}_{△CEF}}$=4，$\frac{GF}{FE}=\frac{DG}{EC}$=2，
∵S_△CEF=1，
∴S_△DFG=4，
∴${S}_{△DFE}=\frac{1}{2}{S}_{△DFG}$=2，
∴S_△DEC=S_△DFE+S_△CEF=2+1=3，
∴S_△BDE=4S_△DEC=4×3=12，
∴S_△BDC=S_△BDE+S_△DEC=12+3=15，
∴S_△ABC=2S_△BDC=2×15=30．
解法二：如图2，连接BF，
∵BE=4EC，
∴S_△BEF=4S_△EFC=4，
在AE上取中点G，连接DG，
∵D是AB的中点，
∴DG是△ABE的中位线，
∴DG=$\frac{1}{2}$BE，
∵BE=4EC，
∴DG=2EC，
∵DG∥EC，
∴△DGF∽△CEF，
∴$\frac{DF}{FC}=\frac{DG}{EC}=2$，
∴S_△BDF=2S_△BFC=2（S_△BEF+S_△EFC）=2×（4+1）=10，
∴S_△BDC=10+5=15，
∵D是AB的中点，
∴S_△ABC=2S_△BDC=30，
或连接BF．∵BE=4EC，且S△CEF=1，∴S_△BEF=4；∵点D是AB中点，∴S_△BDF=S_△ADF=x，S△BDC=S△ADC；即S_△AFC+x=x+5，∴S△AFC=5，因为S_△CEF1，所以S△AEC=6，又因为BE=4EC，所以S_△ABE=24，所以S_△ABC=30
故选C．

点评 本题是三角形的面积问题，考查了三角形面积与底和高的关系，做好本题要知道以下内容：①两个同高的三角形的面积的比等于对应底的比；②平行于三角形一边的直线必平分第三边；③三角形的中线将三角形分成了两个面积相等的三角形；④相似三角形面积的比等于相似比的平方．