Question

如图，⊙O的直径DF与弦AB交于点E，C为⊙O外一点，CB⊥AB，G是直线CD上一点，∠ADG=∠ABD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若∠CDB=∠CBD，⊙O的直径为6，CD=4，求CE的长．

Answer 1

分析：（1）连接AF，由直径所对的圆周角是直角、同弧所对的圆周角相等的性质，证得直线CD是⊙O的切线．
（2）连接OB，构造直角三角形，用勾股定理解答即可．

解答：（1）证明：连接AF
∵DF是直径
∴∠DAF=90°
∴∠AFD+∠ADF=90°
∵∠AFD=∠ABD=∠ADG
∴∠ADG+∠ADF=90°即∠GDF=90°
∴CD是⊙O的切线．

（2）解：连接OB
∵OB=OD
∴∠ODB=∠OBD
∵∠CDB=∠CBD
∴∠ODB+∠CDB=∠OBD+∠CBD=90°即∠ODC=∠OBC=90°
∴BC是⊙O的切线
∵CB⊥AB
∴AB是⊙O的直径点E与圆心O重合
∴CE=

CD2+OD2

=

42+32

=5．

点评：此题考查了切线的性质与判定、弦切角定理、相似三角形的判定与性质等知识．注意乘积的形式可以转化为比例的形式，通过证明三角形相似得出．还要注意构造直径所对的圆周角是圆中的常见辅助线．