Question

【题目】我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．

（1）如图，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；

（2）若改变（1）中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状（不必证明）．

Answer 1

【答案】（1）四边形EFGH是菱形，理由见解析；（2）四边形EFGH是正方形，理由见解析

【解析】

（1）连接AC、BD，由PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD易证△APC≌△BPD（SAS），

故可得到AC＝BD，再利用三角形的中位线可得EF＝AC、FG＝BD，EH＝BD，GH＝AC，易证EF＝FG＝GH＝EH，故四边形EFGH是菱形；

（2）设AC、BD交点为O，AC与PD交于点M，AC与EH交于点N，

利用△APC≌△BPD，所以∠ACP＝∠BDP，再根据∠CPD＝90°故∠PDC+∠PCD＝90°

易得∠ODC+∠OCD＝90°，即∠COD＝90°，即AC⊥BD，再利用中位线的性质∠EHG＝∠ENO＝∠BOC＝∠DOC＝90°，即可得到四边形EFGH是正方形．

（1）四边形EFGH是菱形，

如图，连接AC、BD，

∵∠APB＝∠CPD，

∴∠APB+∠APD＝∠CPD+∠APD，即∠APC＝∠BPD，

在△APC和△BPD中，

，

∴△APC≌△BPD（SAS），

∴AC＝BD，

∵点E、F、G分别为AB、BC、CD的中点，

∴EF＝AC、FG＝BD，EH＝BD，GH＝AC，

∴EF＝FG＝GH＝EH，

∴四边形EFGH是菱形；

（2）四边形EFGH是正方形，

设AC、BD交点为O，AC与PD交于点M，AC与EH交于点N，

∵△APC≌△BPD，

∴∠ACP＝∠BDP，

∵∠CPD＝90°

∴∠PDC+∠PCD＝90°

∴∠ODC+∠OCD＝90°

∴∠COD＝90°

∴AC⊥BD

∵EH∥BD、AC∥HG，

∴∠EHG＝∠ENO＝∠BOC＝∠DOC＝90°，

∵四边形EFGH是菱形，

∴四边形EFGH是正方形．