Question

3．如图，四边形ABCD是平行四边形，E为AD中点，F为CD中点，连接AF、BE、CE，若△EGH的面积为1，则四边形ABCD的面积为30．

Answer 1

分析 延长AF，BC交于M，取AB的中点N，连接CN交BE于K，由四边形ABCD是平行四边形，得到AD∥BC，AD=BC，根据全等三角形的性质得到AD=CM，求得AE=$\frac{1}{4}$BM，根据已知条件得到AD∥BM，推出AEG∽△BMG，根据相似三角形的性质得到$\frac{AE}{BM}=\frac{EG}{KC}=\frac{AG}{GM}=\frac{1}{4}$，根据平行线分线段成比例定理得到BK=KG，求得$\frac{GE}{BK}=\frac{1}{2}$，设AG=k，于是得到GM=4k，GH=$\frac{2}{3}$k，AF=FM=$\frac{5}{2}$k，HF=$\frac{5}{6}$k，求得AG：GH：HF=6：4：5，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：延长AF，BC交于M，取AB的中点N，连接CN交BE于K，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠M=∠DAF，∠D=∠DCM，
在△ADF与△MCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠FCM}\\{∠DAF=∠M}\\{DF=CF}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△MCF，
∴AD=CM，
∴AE=$\frac{1}{4}$BM，
∵E为AD中点，F为CD中点，
∴AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC，DF=CF，
∵AD∥BM，
∴△AEG∽△BMG，
∴$\frac{AE}{BM}=\frac{EG}{KC}=\frac{AG}{GM}=\frac{1}{4}$，
∵N是AB的中点，BC=CM，
∴CN∥AM，
∴BK=KG，
∴$\frac{GE}{BK}=\frac{1}{2}$，GM=2KG，AF=FM，
设AG=k，则GM=4k，GH=$\frac{2}{3}$k，AF=FM=$\frac{5}{2}$k，HF=$\frac{5}{6}$k，
∴AG：GH：HF=6：4：5，
∵S_△EGH=1，
∴S_△AGE=$\frac{3}{2}$，S_△EFH=$\frac{5}{4}$，S_△AEF=$\frac{15}{4}$，
∵AE=DE，
∴S_△ADF=$\frac{15}{2}$，
∴S_{四边形ABCD}=4S_△ADF=30．
故答案为：30．

点评 本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线的性质，三角形面积的计算，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．