Question

14．正△ABC，正△ADE，BE⊥CD，F为垂足，AF=1，求S_△ABC+S_△ADE．

Answer 1

分析 在AF右侧作等边△AFG，连接BD、CE、CG、FG、EG．首先证明△ABD≌△ACE（SAS），△ABD≌△ACE（SAS），△ADF≌△AEG（SAS），推出EG²+CG²=CE²，推出EG⊥CG，∠CGE=90°，再证明∠FCG=30°，∠FOG=60°，推出△FOG是等边三角形，根据S_△ABC+S_△ADE=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（BC²+DE²）计算即可．

解答 证明：在AF右侧作等边△AFG，连接BD、CE、CG、FG、EG．

∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AB=BC=AC，AD=AE=DE，∠BAD=∠CAE=60°-∠BAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，
∵AF=AG=FG=1，∠BAF=∠CAG=60°-∠CAF，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BF=CG，∠ABF=∠ACG，
∵∠FAD=∠GAE=60°-∠EAF，
∴△ADF≌△AEG（SAS），
∴DF=EG，
∵BE⊥CD，
∴DF²+BF²=BD²，
∴EG²+CG²=CE²，
∴EG⊥CG，
∴∠CGE=90°
∵∠ABF+∠ACF=（∠ABC+∠ACB）-（∠FBC+∠FCB）=120°-90°=30°，
∴∠ACG+∠ACF=∠FCG=30°，
取CE的中点O，连接OF、OG．
∴OF=OC=OE=OG，
∴∠FOG=2∠FCG=60°，
∴△OFG是等边三角形，
∴CE=2FG=2，
∵EF²+DF²=DE²，BC²=BF²+CF²，
∴DE²+BC²=DE²+DF²+BF²+CF²=（DF²+BF²）+（EF²+CF²）=BD²+CE²=2CE²=8，
∴S_△ABC+S_△ADE=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（BC²+DE²）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×8=2√3．

点评 本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，题目比较难，辅助线比较多．