Question

如图，已知一抛物线过坐标原点O和点A（1，h）、B（4，0），C为抛物线对称轴上一点，且OA⊥AB，∠COB=45°．
（1）求h的值；
（2）求此抛物线的解析式；
（3）若P为线段OB上一个动点（与端点不重合），过点P作PM⊥AB于M，PN⊥OC于N，试求的值．

Answer 1

解：（1）∵OA⊥AB，A（1，h），在Rt△OAB中，由勾股定理得：（1²+h²）+（3²+h²）=4²，
即h²=3
∵h＜0
h=-3

（2）∵抛物线与x轴的交点为坐标原点O和B（4，0），
故可设此抛物线的解析式为y=ax（x-4），
又抛物线过点，
∴，
∴
故此抛物线的解析式为，

（3）∵抛物线对称轴垂直平分OB，而C是其上一点，
∴CO=CB，
∴∠COB=∠CBO=45°，
故∠OCB=180°-∠COB-∠CBO=90°．
∵PN⊥OC，
∴∠ONP=90°，
∴∠ONP=∠OCB，
又∠PON=∠BOC，
∴△PON∽△BOC，
∴，
同理可证
∴．
分析：（1）由OA⊥AB，∠COB=45°可知A（1，h），在Rt△OAB中，由勾股定理得到h；
（2）抛物线与x轴的交点为坐标原点O和B（4，0），故可设此抛物线的解析式为y=ax（x-4），又抛物线过点，解得a；
（3）首先证明∠ONP=∠OCB、和∠PON=∠BOC，进而证明△PON∽△BOC，得到和，两式相加得到所求的式的值．
点评：本题主要考查二次函数的应用，求二次函数的解析式等知识点．