Question

已知：如图，A是⊙O外一点，AO的延长线交⊙O于点C和点D，点B在圆上，且AB=BD，∠A=30°．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为10，求AC的长．

Answer 1

考点：切线的判定,含30度角的直角三角形,圆周角定理

专题：计算题

分析：（1）连接OB，由BD=BA，利用等边对等角得到一对角相等，进而求出∠DBA的度数为120°，由OB=OD利用等边对等角得到∠D=∠OBD=30°，由∠DBA-∠OBD求出∠OBA为直角，即可得到AB为圆O的切线；
（2）由圆的直径求出半径OB的长，在直角三角形AOB中，由30°所对的直角边等于斜边的一半求出OA的长，由OA-OC即可求出AC的长．

解答：（1）证明：连接OB，
∵BD=BA，
∴∠D=∠A=30°，
∴∠DBA=120°，
∵OB=OD，
∴∠D=∠OBD=30°，
∴∠OBA=90°，即AB⊥OB，
则AB是圆O的切线；

（2）解：由圆的直径为10，得到OB=OD=5，
∵在Rt△AOB中，∠A=30°，
∴AO=2OB=10，
则AC=AO-OC=10-5=5．

点评：此题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，含30度直角三角形的性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．