Question

11．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F，M，N分别为OA，OB，OC，OD的中点，连接EF，FM，MN，NE．
（1）依题意，补全图形；
（2）求证：四边形EFMN是矩形；
（3）连接DM，若DM⊥AC于点M，ON=3，求矩形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）根据题目要求画出图形即可；
（2）根据三角形中位线定理可得EF∥AB，EF=$\frac{1}{2}$AB，NM∥CD，MN=$\frac{1}{2}$DC，再由矩形的性质可得AB∥DC，AB=DC，AC=BD，进而可得四边形EFMN是矩形；
（3）根据条件可得DM垂直平分OC，进而可得DO=CO，然后证明△COD是等边三角形，进而得出BC，CD的长，进而得出答案．

解答 （1）解：如图所示：

（2）证明：∵点E，F分别为OA，OB的中点，
∴EF∥AB，EF=$\frac{1}{2}$AB，
同理：NM∥CD，MN=$\frac{1}{2}$DC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，AB=DC，AC=BD，
∴EF∥NM，EF=MN，
∴四边形EFMN是平行四边形，
∵点E，F，M，N分别为OA，OB，OC，OD的中点，
∴EO=$\frac{1}{2}$AO，MO=$\frac{1}{2}$CO，
在矩形ABCD中，AO=CO=$\frac{1}{2}$AC，BO=DO=$\frac{1}{2}$BD，
∴EM=EO+MO=$\frac{1}{2}$AC，
同理可证FN=$\frac{1}{2}$BD，
∴EM=FN，
∴四边形EFMN是矩形．

（3）解：∵DM⊥AC于点M，
由（2）MO=$\frac{1}{2}$CO，
∴DO=CD，
在矩形ABCD中，
AO=CO=$\frac{1}{2}$AC，BO=DO=$\frac{1}{2}$BD，AC=BD，
∴AO=BO=CO=DO，
∴△COD是等边三角形，
∴∠ODC=60°，
∵MN∥DC，
∴∠FNM=∠ODC=60°，
在矩形EFMN中，∠FMN=90°．
∴∠NFM=90°-∠FNM=30°，
∵NO=3，
∴FN=2NO=6，FM=3$\sqrt{3}$，MN=3，
∵点F，M分别为OB，OC的中点，
∴BC=2FM=6$\sqrt{3}$，
∴矩形的面积为BC•CD=36$\sqrt{3}$．

点评 此题主要考查了矩形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确得出△COD是等边三角形是解题关键．