Question

如图，BC是⊙O的直径，AB、AD是⊙O的切线，切点分别为B、P，过C点的切线与AD交于点D，连接AO、DO．
求证：△ABO∽△OCD．

Answer 1

证明：连接OP，
∵A点切线BA和AD的交点，D点为过C点的切线和切线AD的交点，
∴△ABO≌△APO，△COD≌△POD，
∴2∠DOP+2∠AOP=180°，
∴∠AOD=90°，
∴∠AOB+∠COD=90°，
∵∠AOB+∠OAB=90°，
∴∠OAB=∠DOC，
∵∠ABO=∠OCD=90°，
∴△ABO∽△OCD．
分析：根据切线的性质可以判定△ABO≌△APO，△COD≌△POD，进而可以求证∠OAB=∠DOC，即可求证△ABO∽△OCD，即可解题．
点评：本题考查了切线的性质，相似三角形的证明，全等三角形对应角相等的性质，本题中根据切线的性质判定△ABO≌△APO，△COD≌△POD是解题的关键．