Question

（1）填空：我们知道一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有两根x₁，x₂，则x₁+x₂=______，x₁x₂=______
（2）请运用上面你发现的结论，解答问题：已知x₁，x₂是方程x²-x-1=0的两根，不解方程求下列式子的值：①x₁²+x₂²； ②（x₁+1）（x₂+1）；
（3）α、β是关于x的方程4x²-4mx+m²+4m=0的两个实根，并且满足（α-1）（β-1）-1=，求m的值．

Answer 1

解：（1）由韦达定理得：x₁+x₂=，x₁x₂=，
故答案为：，．

（2）∵x₁，x₂是方程x²-x-1=0的两根，∴x₁+x₂=1，x₁x₂=-1，
①x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=1+2=3；
②（x₁+1）（x₂+1）=x₁x₂+x₁+x₂+1=-1+1+1=1．

（3）∵α、β是关于x的方程4x²-4mx+m²+4m=0的两个实根，
∴α+β=m，αβ=，
∵（α-1）（β-1）-1=，
∴αβ-（α+β）+1-1=，
即：-m=，化简得：m²=，
故m=，又△=16m²-16m²-16m≥0，解得：m≤0，
故m=．
分析：（1）由韦达定理即可得出答案．
（2）先求出x₁+x₂，x₁x₂后对所求代数式进行变形即可求解．
（3）根据韦达定理先求出α+β与αβ，然后代入求解．
点评：本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是要熟记x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-，x₁x₂=．