Question

2．学完第七章《平面直角坐标系》和第十九章《一次函数》后，老师布置了这样一道思考题：已知：如图，在长方形ABCD中，BC=4，AB=2，点E为AD的中点，BD和CE相交于点P．求△BPC的面积．
小明同学应用所学知识，顺利地解决了此题，他的思路是这样的：
建立适当的“平面直角坐标系”，写出图中一些点的坐标，根据“一次函数”的知识求出点P的坐标，从而可求得△BPC的面积．
请你按照小明的思路解决这道思考题．

Answer 1

分析 以点B为原点、BC为x轴、BA为y轴建立直角坐标系，由此可得出点B、A、C、E的坐标，利用待定系数法即可得出直线BD、CE的解析式，联立两直线解析式成方程组，解之即可得出点P的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出△BPC的面积．

解答 解：如图建立直角坐标系，
则点B（0，0）、C（4，0）、A（0，2）、D（4，2）、E（2，2）．
设直线BD的解析式为y=kx+b，
将点B（0，0）、D（4，2）代入y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{b=0}\\{4k+b=2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=0}\end{array}\right.$，
∴直线BD的解析式为y=$\frac{1}{2}$x；
设直线CE的解析式为y=mx+n，
$\left\{\begin{array}{l}{4m+n=0}\\{2m+n=2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=4}\end{array}\right.$，
∴直线CE的解析式为y=-x+4．
联立直线BD、CE的解析式成方程组，
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y=-x+4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{8}{3}}\\{y=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
∴点P的坐标为（$\frac{8}{3}$，$\frac{4}{3}$），
∴S_△BPC=$\frac{1}{2}$BC•y_P=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{4}{3}$=$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查了两条直线相交或平行问题、待定系数法求一次函数解析式、矩形的性质以及三角形的面积公式，建立合适的直角坐标系，利用待定系数法求出直线BD、CE的解析式是解题的关键．