【题目】已知,△ADB内接于⊙O,DG⊥AB于点G,交⊙O于点C,点E是⊙O上一点,连接AE分别交CD、BD于点H、F.
(1)如图1,当AE经过圆心O时,求证:∠AHG=∠ADB;
(2)如图2,当AE不经过点O时,连接BC、BH,若∠GBC=∠HBG时,求证:HF=EF;
(3)如图3,在(2)的条件下,连接DE,若AB=8,DH=6,求sin∠DAE的值.
【答案】见解析.
【解析】
试题分析:(1)如图1中,连接BE,由DG∥BE,推出∠AEB=∠AHG,由∠ADB=∠AEB,即可推出∠ADB=∠AHG.
(2)连接AC、DE,EB、AC、BC.只要证明HG=CG,∠EDB=∠CDB,根据等腰三角形三线合一即可证明.
(3)过点O作ON⊥DE,OM⊥AB垂足分别为N、M,连接OD、OE、OA、OB.只要证明△NOE≌△MBO,推出NE=OM=3,OB==5,在RT△OMB中,根据sin∠OBM=
,计算即可.
试题解析:证明:(1)如图1中,连接BE,
∵AE是⊙O的直径∴∠ABE=90°,
∵DG⊥AB,
∴∠ABE=∠AGD=90°,
∴DG∥BE,
∴∠AEB=∠AHG,
∵∠ADB=∠AEB
∴∠ADB=∠AHG.
(2)连接AC、DE,EB、AC、BC.
∠GBC=∠HBG,DG⊥AB
∴∠GHB=∠BCH,BH=BC,
∴HG=CG,
∴AH=AC,∠AHC=∠HCA,∠BAC=∠HAG
∵∠AED=∠ACH,∠DHE=∠AHC,
∴∠AED=∠DHE,
∴DH=DE,
∵∠EDB=∠EAB,∠CDB=∠BAC,
∴∠EDB=∠CDB,
∴HF=EF.
(3)过点O作ON⊥DE,OM⊥AB垂足分别为N、M,连接OD、OE、OA、OB.
∴BM=AB=4,
∵DH=DE=6,HF=EF,
∴DF⊥AE,
∴∠DAE+∠BDA=90°,
∵∠E O D=2∠DAE∠AO B=2∠ADB,
∴∠BOA+∠EOD=180°,
∵∠DOE=2∠NOE∠AOB=2∠BOM,
∴∠NOE+∠BOM=90°∠NOE+∠NEO=90°,
∵∠NEO=∠BOM,OE=OB,
∴△NOE≌△MBO
∴NE=OM=3,
∴OB==5,
∵∠ADB=∠BOM,
∴∠DAF=∠OBM,
在RT△OMB中sin∠OBM==
∴sin∠DAE=.
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【题目】某村原有林地108公顷,旱地54公顷,为保护环境,需把一部分旱地改造为林地,使旱地占林地面积的20%,设把x公顷旱地改为林地,则可列方程( )
A.54x=20%×108 B.54x=20%×(108+x)
C.54+x=20%×162 D.108x=20%(54+x)
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【题目】某市从2017年开始大力发展旅游产业.据统计该市2017年旅游收入约为2亿元,预计2019旅游收入达到2.88亿元,据此估计该市2018年、2019年旅游收入的年平均增长率约为____.
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【题目】某校积极开展“大课间”活动,共开设了跳绳、足球、篮球、踢键子四种运动项目,为了解学生最喜爱哪一种项目,随机抽取了部分学生进行调查,并绘制了如下不完整的统计图,请根据图中信息解答下列问题.
(1)求本次被调查的学生人数;
(2)通过计算补全条形统计图;
(3)该校有1000名学生,请估计全校最喜爱足球的人数比最喜爱篮球的人数少多少人?
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【题目】已知,△ABC满足BC=AB,∠ABC=90°,A点在x轴的负半轴上,直角顶点B在y轴上,点C在x轴上方.
(1)如图1所示,若A的坐标是(-3,0),点B与原点重合,则点C的坐标是_________;
(2)如图2,过点C作CD⊥y轴于D,请判断线段OA、OD、CD之间的数量关系并说明理由;
(3)如图3,若x轴恰好平分∠BAC,BC与x轴交于点E,过点C作CF⊥x轴于点F,问CF与AE有怎样的数量关系?并说明理由.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】甲、乙两人在相同条件下各射靶10次,每次射靶的成绩情况如图所示:
(1)请填写下表:
平均数 | 方差 | 中位数 | 命中9环及以上的次数 | |
甲 | 7 | 1.2 | 1 | |
乙 | 5.4 |
(2)请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析:
①从平均数和方差相结合看;
②从平均数和中位数相结合看(分析谁的成绩好些);
③从平均数和命中9环以上的次数相结合看(分析谁的成绩好些);
④从折线图上两人射击命中环数的走势看(分析谁更有潜力).
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