Question

12．如图，矩形ABCD中，∠FCD=75°，以CF为一边的等边△EFC的另一顶点E在AD上，点K是FC的中点
（1）求证：矩形ABCD是正方形；
（2）求证：CE²=4BC•FB；
（3）求∠KDC的度数．

Answer 1

分析 （1）要证明矩形ABCD是正方形，只要证明邻边相等就行，可通过证明△CDE≌△CBF实现；
（2）因为△EFC是等边三角形，要证明CE²=4BC•FB，可证明EF²=CF²=CE²=4BC•FB；由（1）知BF=CD，AD=AB，∴BC=BF+AF，AF²=（BC-BF）²=BC²+BF²-2BC•BF，即AF²+2BC•BF=BC²+BF²=FC²=CE²，所以2AF²+4BC•BF=2FC²=2CE²，在Rt△AEF中，易证2AF²=EF²=CE²，变形得证．
（3）连接EK，易证∠EKC=∠ADC=90°，所以点E、K、C、D四点共圆，通过同弧上的圆周角相等，可得到∠KDC的度数．

解答 （1）证明：∵ABCD是矩形，
∴∠B=∠BCD=∠ADC=90°，
∵∠FCD=75°，∴∠FCB=15°，
∵△EFC是等边三角形，
∴CF=CE，∠ECF=60°，
∴∠ECD=∠FCD-∠FCE=15°=∠FCB．
在△CDE和△CBF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠ADC}\\{∠ECD=∠FCB}\\{CE=CF}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△CBF．
∴BC=CD．
∴矩形ABCD是正方形．

（2）证明：∵△EFC是等边三角形，
∴CE=EF=CF，
∵△CDE≌△CBF，
∴BF=ED，
∵ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC，
∴AE=AF．
∵BC=BF+AF，AF²=（BC-BF）²=BC²+BF²-2BC•BF，即AF²+2BC•BF=BC²+BF²=FC²=CE²，
∴2AF²+4BC•BF=2FC²=2CE²．
在Rt△AEF中，EF²=AE²+AF²=2AF²=CE²，
∴CE²+4BC•BF=2CE²，即CE²=4BC•BF．
（3）解：连接EK．

∵△EFC是等边三角形，

点K是FC的中点，
∴EK⊥CF，∠KEC=30°，
∴∠EKC=∠ADC=90°，
∴E、K、C、D四点共圆，
∴∠KDC=∠KEC=30°．

点评 本题考查了正方形的判定和性质、等边三角形的性质、三角形全等的判定、勾股定理、四点共圆及圆周角定理．第二问的恒等变形，是通过完全平方公式和边的和差变化实现的，第三问易可通过证明△EBC∽△FBK求解．