Question

如图，△ABC中，∠BAC=90°，BC的垂直平分线和BC相交于点D，和∠BAC的平分线AE相交于点E，AE和BC相交于点F．求证：DE=BC．

Answer 1

证明：连接AD．
∵∠BAC=90°，D是BC的中点，
∴DA=DC=BC．
∴∠1=∠C．
又∵AE平分∠BAC，
∴∠CAF=45°．
∴∠2=45°-∠1．
又∵∠3=∠FAC+∠C
=45°+∠C，
∵DE⊥BC于点D，
∴∠E=90°-∠3
=90°-（45°+∠C）
=45°-∠C
∴∠2=∠E．
∴DE=AD．
∴DE=BC．
分析：连接AD．根据题意得∠1=∠C，再由角平分线的性质得出∠2与1的关系，因为DE⊥BC，得出∠2=∠E，从而得出DE=BC．
点评：本题考查了直角三角形的性质以及线段垂直平分线的性质，是基础题目比较简单．