Question

18．【问题原型】如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE=CF，点P为AE，BF的交点，易得∠BPE=90°．
【探究发现】某数学兴趣小组，在尝试对上述问题进行变式，转换了问题的背景图形：如图②，在等边△ABC中，点E，F分别在边BC，AC上（不与三角形顶点重合），且BE=CF，点P为AE，BF的交点，请画出图形并求∠BPE的度数．
【拓展提升】利用【探究发现】的思路及结论，继续探究，尝试解决如下问题：
如图③，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，点E，F分别在边BC，AD上，且∠BAE=∠CDE，DF=CE，点P为AE，BF的交点，求∠BPE的度数．

Answer 1

分析 探究发现：如图②中，只要证明△ABE≌△BCF，即可推出∠BAE=∠CBF，由∠BPE=∠BAE+∠ABP，推出∠BPE=∠CBF+∠ABP=∠ABC=60°；
拓展提升：由△ABQ≌△DCE，推出BQ=CE，推出DF=CE，推出DF=BQ，由探究发现的结论可知，∠BPE=60°；

解答 解：探究发现，如图②中，

∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°，
∵BE=CF，
在△ABE和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABE=∠C}\\{BE=CF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCF，
∴∠BAE=∠CBF，
∵∠BPE=∠BAE+∠ABP，
∴∠BPE=∠CBF+∠ABP=∠ABC=60°，

拓展提升：如图③中，连接BD交AE于Q．

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=DC，AB∥DC，AD∥BC，
∵∠ABC=120°，
∴∠BAD=∠C=60°，
∵∠BAE=∠CDE，AB=CD，
∴△ABQ≌△DCE，
∴BQ=CE，
∴DF=CE，
∴DF=BQ，
由探究发现的结论可知，∠BPE=60°．

点评 本题考查等边三角形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．