Question

【题目】毕达哥拉斯学派对”数”与”形”的巧妙结合作了如下研究：

名称及图形 几何点数 层数	三角形数	正方形数	五边形数	六边形数
第一层几何点数	1	1	1	1
第二层几何点数	2	3	4	5
第三层几何点数	3	5	7	9
…	…	…	…	…
第六层几何点数
…	…	…	…	…
第n层几何点数

请写出第六层各个图形的几何点数，并归纳出第n层各个图形的几何点数．

Answer 1

【答案】6；11；16；21；；2n﹣1；3n﹣2；4n﹣3
【解析】解：∵前三层三角形的几何点数分别是1、2、3，
∴第六层的几何点数是6，第n层的几何点数是n；
∵前三层正方形的几何点数分别是：1=2×1﹣1、3=2×2﹣1、5=2×3﹣1，
∴第六层的几何点数是：2×6﹣1=11，第n层的几何点数是2n﹣1；
∵前三层五边形的几何点数分别是：1=3×1﹣2、2=3×2﹣2、3=3×3﹣2，
∴第六层的几何点数是：3×6﹣2=16，第n层的几何点数是3n﹣2；
前三层六边形的几何点数分别是：1=4×1﹣3、5=4×2﹣3、9=4×3﹣3，
∴第六层的几何点数是：4×6﹣3=21，第n层的几何点数是4n﹣3．

名称及图形 几何点数 层数	三角形数	正方形数	五边形数	六边形数
第一层几何点数	1	1	1	1
第二层几何点数	2	3	4	5
第三层几何点数	3	5	7	9
…	…	…	…	…
第六层几何点数	6	11	16	21
…	…	…	…	…
第n层几何点数	n	2n﹣1	3n﹣2	4n﹣3

故答案为：6、11、16、21、n、2n﹣1、3n﹣2、4n﹣3．
首先看三角形数，根据前三层的几何点数分别是1、2、3，可知第六层的几何点数是6，第n层的几何点数是n；然后看正方形数，根据前三层的几何点数分别是1=2×1-1，3=2×2-1，5=2×3-1，可知第六层的几何点数是2×6-1=11，可知第n层的几何点数是2n-1；再看五边形数，根据前三层的几何点数分别是1=3×1-2，4=3×2-1，7=3×3-2，可知第六层的几何点数是3×6-2=16，可知第n层的几何点数是3n-2；最后看六边形数，根据前三层的几何点数分别是1=4×1-3，5=4×2-3，9=4×3-3，可知第六层的几何点数是4×6-3=21，可知第n层的几何点数是4n-3；据此解答即可．