Question

【题目】如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=2cm,AC=4cm,动点P从点A出发，沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动，动点Q从点B同时出发，沿BA方向以1cm/s的速度向点A运动．当点P到达点B时，P, Q两点同时停止运动．以AP为一边向上作正方形APDE，过点Q作QF∥BC,交AC于点F.设点P的运动时间为,正方形APDE和梯形BCFQ重合部分的面积为cm．

（1）当=_____s时，点P与点Q重合；

（2）当为多少时，点D在QF上；

（3）是否存在某一时刻，使得正方形APDE的面积被直线QF平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）；（3）.

【解析】

（1）当点P与点Q重合时，此时AP＝BQ＝t，且AP＋BQ＝AB＝2，由此列一元一次方程求出t的值；

（2）当点D在QF上时，如图1所示，此时AP＝BQ＝t．由相似三角形比例线段关系可得PQ＝t，从而由关系式AP＋PQ＋BQ＝AB＝2，列一元一次方程求出t的值；

（3）当点P在Q，B两点之间运动（不包括Q，B两点），1＜t≤时，如答图3所示，此时重合部分为梯形PDGQ．先计算梯形各边长，然后利用梯形面积公式求出S；由题意知，当1＜t≤时，正方形APDE的面积被直线QF平分，列出方程，求出时间t．

解：（1）当点P与点Q重合时，AP＝BQ＝t，且AP＋BQ＝AB＝2，

∴t＋t＝2，解得t＝1s，

故答案：1．

（2）当点D在QF上时，如图1所示，此时AP＝BQ＝t．

∵QF∥BC，APDE为正方形，

∴△PQD∽△ABC，

∴DP：PQ＝AC：AB＝2，

则PQ＝DP＝AP＝t．

由AP＋PQ＋BQ＝AB＝2，得t＋t＋t＝2，
解得：t＝．

故答案：．

（3）当P、Q重合时，由（1）知，此时t＝1；当D点在BC上时，如图2所示，此时AP＝BQ＝t，BP＝t，求得t＝s，因此当P点在Q，B两点之间（不包括Q，B两点），且1＜t≤时，如图3所示，此时重合部分为梯形PDGQ．此时AP＝BQ＝t，
∴AQ＝2t，PQ＝APAQ＝2t2；

易知△ABC∽△AQF，
可得AF＝2AQ，EF＝2EG．
∴EF＝AFAE＝2（2t）t＝43t，EG＝EF＝2t，
∴DG＝DEEG＝t（2t）＝t2．
S＝S梯形PDGQ＝（PQ＋DG）PD，
＝[（2t2）＋（t2）]t，
＝；

由题意知，当1＜t≤时，正方形APDE的面积被直线QF平分，

∴

解得：

故答案为：