Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴相交于点B、C，经过点B、C的抛物线与x轴的另一个交点为A（-1，0）．

（1）求这个抛物线的表达式；

（2）已知点D在抛物线上，且横坐标为2，求出△BCD的面积；

（3）点P是直线BC上方的抛物线上一动点，过点P作PQ垂直于x轴，垂足为Q．是否存在点P，使得以点A、P、Q为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）点P的坐标为：或．

【解析】

（1）本题需先根据直线过B，C两点，求得B，C的坐标，然后根据的东西是即可得出抛物线的解析式．

（2）把D的横坐标代入抛物线的解析式求得纵坐标，求得四边形OBDC是梯形，可直接根据三角形面积公式求得；

（3）本题首先判断出存在，首先设点P的横坐标为m，则P的纵坐标为，再分两种情况进行讨论：当时和当时，得出△APQ∽△BCO，△APQ∽△CBO，分别求出点P的坐标即可．

（1）∵直线分别与x轴、y轴相交于点B、C，

∴B（3，0），C（0，2），

将A（-1，0），C（0，2）代入得，

，

解得．

故此抛物线的解析式为．

（2）如图，过点作轴，交直线于点，

由 令，得，

∴

由，令，得，

∴

∴．

∴

（3）设点的横坐标为，则），

①当∽时，，即，

解得，，（舍去），此时．

②当∽时，，

即，

解得，，（舍去），此时．

所以点P的坐标为：或