【题目】如图,在正方形ABCD中,AC为对角线,E为AB上一点,过点E作EF∥AD,与AC、DC分别交于点G,F,H为CG的中点,连接DE,EH,DH,FH.下列结论: ①EG=DF;②∠AEH+∠ADH=180°;③△EHF≌△DHC;④若 = ,则3S△EDH=13S△DHC , 其中结论正确的有 .
【答案】①②③④
【解析】解:①∵四边形ABCD为正方形,EF∥AD, ∴EF=AD=CD,∠ACD=45°,∠GFC=90°,
∴△CFG为等腰直角三角形,
∴GF=FC,
∵EG=EF﹣GF,DF=CD﹣FC,
∴EG=DF,故①正确;
②∵△CFG为等腰直角三角形,H为CG的中点,
∴FH=CH,∠GFH= ∠GFC=45°=∠HCD,
在△EHF和△DHC中, ,
∴△EHF≌△DHC(SAS),
∴∠HEF=∠HDC,
∴∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC=∠AEF+∠ADF=180°,故②正确;
③∵△CFG为等腰直角三角形,H为CG的中点,
∴FH=CH,∠GFH= ∠GFC=45°=∠HCD,
在△EHF和△DHC中, ,
∴△EHF≌△DHC(SAS),故③正确;
④∵ = ,
∴AE=2BE,
∵△CFG为等腰直角三角形,H为CG的中点,
∴FH=GH,∠FHG=90°,
∵∠EGH=∠FHG+∠HFG=90°+∠HFG=∠HFD,
在△EGH和△DFH中, ,
∴△EGH≌△DFH(SAS),
∴∠EHG=∠DHF,EH=DH,∠DHE=∠EHG+∠DHG=∠DHF+∠DHG=∠FHG=90°,
∴△EHD为等腰直角三角形,
过H点作HM垂直于CD于M点,如图所示:
设HM=x,则DM=5x,DH= x,CD=6x,
则S△DHC= ×HM×CD=3x2 , S△EDH= ×DH2=13x2 ,
∴3S△EDH=13S△DHC , 故④正确;
所以答案是:①②③④.
【考点精析】掌握正方形的性质和相似三角形的判定与性质是解答本题的根本,需要知道正方形四个角都是直角,四条边都相等;正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角;正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形;正方形的对角线与边的夹角是45o;正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形;相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比;相似三角形周长的比等于相似比;相似三角形面积的比等于相似比的平方.
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【题目】在平面直角坐标系中,三角形ABC的三个顶点的位置如图所示,点A'的坐标是(-2,2),现将三角形ABC平移,使点A变换为点A',点B',C'分别是B,C的对应点.
(1)请画出平移后的三角形A'B'C'(不写画法),并直接写出B',C'的坐标;
(2)若三角形ABC内部一点P的坐标为(a,b),则点P的对应点P'的坐标是_______.
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【题目】如图,四边形ABCD中,∠ABC=3∠CBD,∠ADC=3∠CDB,∠C=130°,则∠A的度数是( )
A.60° B.70° C.80° D.90°
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【题目】如图,四边形ABCD是一个工件的平面图,它要求AD和BC这两边的夹角应等于30°.甲、乙、丙三个工人在检验工件是否合格时,发生了以下争论:
甲:要检验工件是否合格,应延长AD和BC,设交点为O,然后检验∠O是否等于30°.
乙:这样太麻烦了,我看只需测量出∠A和∠B的度数就行了.
丙:量出∠C和∠D的度数也可以检验AD和BC的夹角是否等于30°.
请你用所学过的知识,说明乙、丙两人的方法是否正确.
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【题目】如图①所示,已知,BC∥OA,∠B=∠A=100°,试解答下列问题:
(1)试说明:OB∥AC;
(2)如图②,若点E.F在BC上,且∠FOC=∠AOC,OE平分∠BOF.试求∠EOC的度数;
(3)在(2)小题的条件下,若左右平行移动AC,如图③,那么∠OCB:∠OFB的比值是否随之发生变化?若变化,试说明理由;若不变,求出这个比值.
(4)在(3)小题的条件下,当∠OEB=∠OCA时,试求∠OCA的度数.
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