Question

1．如图，在Rt△ABC中，∠CAB=30°，CD⊥AB于D点，BC=1，点P是直线BC上一动点，连结AP．若点E是AP的中点，则DE的最小值是$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 延长AB到F点，使DF=AD，连接CF，作FH⊥BC于H，如图，利用含30度的直角三角形三边的关系计算出FH=$\sqrt{3}$BH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，再证明DE为△AFP的中位线得到DE=$\frac{1}{2}$FP，利用垂线段最短，当点P在H点的位置时，FP的值最小，
于是得到DE的最小值为$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

解答 解：延长AB到F点，使DF=AD，连接CF，作FH⊥BC于H，如图，

在Rt△ABC中，∵∠CAB=30°，
∴AC=$\sqrt{3}$BC=$\sqrt{3}$，∠ABC=60°，
在Rt△BCD中，BD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$，CD=$\sqrt{3}$BD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
在Rt△CDF中，DF=$\sqrt{3}$CD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\sqrt{3}$=$\frac{3}{2}$，
∴BF=1，
在Rt△BFH中，BH=$\frac{1}{2}$，FH=$\sqrt{3}$BH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵DA=DF，AE=EP，
∴DE为△AFP的中位线，
∴DE=$\frac{1}{2}$FP，
当点P在H点的位置时，FP的值最小，
∴DE的最小值为$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
故答案为$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．也考查了含30度的直角三角形三边的关系和直角三角形斜边上的中线性质．