Question

【题目】已知：如图，直线与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，线段OA的长是方程的一个根，请解答下列问题：

求点B坐标；

双曲线与直线AB交于点C，且，求k的值；

在的条件下，点E在线段AB上，，直线轴，垂足为点，点M在直线l上，坐标平面内是否存在点N，使以C、E、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）点N的坐标为或或或．

【解析】

解方程得：，或，得出，，代入求出，即可得出；

在中，由勾股定理求出，过点C作轴于H，则，由平行线得出∽，得出，求出，，得出，，代入双曲线切线即可；

分两种情况：当CE为以C、E、M、N为顶点的矩形的一边时，由矩形的性质和相似三角形的判定与性质得出点N的坐标为或；

当CE为以C、E、M、N为顶点的矩形的对角线时，由矩形的性质和相似三角形的判定与性质得出点N的坐标为或．

解：解方程得：，或，

线段OA的长是方程的一个根，

，，

代入得：，

，

；

在中，，，

，

过点C作轴于H，如图1所示：

则，

∽，

，

即，

解得：，，

，

，

双曲线经过点C，

；

存在，理由如下：

分两种情况：

当CE为以C、E、M、N为顶点的矩形的一边时，过E作轴于G，作交直线l于M，如图2所示：

则，

∽，

，

，，

，

，

，

设直线EM的解析式为，

把点代入得：，

解得：，

直线EM的解析式为，

当时，，

，

，

，

点N的坐标为；

当CE为以C、E、M、N为顶点的矩形的一边时，同理得出满足条件的另一点N的坐标为；

当CE为以C、E、M、N为顶点的矩形的对角线时，作于G，于H，如图3所示：

则，，，

四边形EMCN是矩形，

，

由角的互余关系得：，

∽，

，

，

又，

，，

的坐标为，

，，

；

当CE为以C、E、M、N为顶点的矩形的对角线时，同理得出满足条件的另一点N的坐标为；

综上所述：存在以C、E、M、N为顶点的四边形是矩形，点N的坐标为或或或．