Question

15．四边形ABCD中，AD∥BC，AC交BD于O，AD=5，BC=9，E，F分别是BD、AC的中点，下列结论正确的有①②④（填序号）．
①EF∥BC；②EF=2；③△AOB∽△DOC；④S_△AOD：S_△DOC=5：9．

Answer 1

分析 连接DF，延长DF交BC于M．首先证明△ADF≌△CMF，推出AD=CM，DF=FM，由DE=EB，推出EF=$\frac{1}{2}$BM，EF∥BM，即可推出①②正确，由AD∥BC，推出$\frac{AO}{OC}$=$\frac{AD}{BC}$=$\frac{5}{9}$，推出$\frac{{S}_{△AOD}}{{S}_{△DOC}}$=$\frac{5}{9}$，故④正确．

解答 解：连接DF，延长DF交BC于M．

∵AD∥CB，
∴∠DAF=∠FCM，
∵AF=FC，∠AFD=∠CFM，
∴△ADF≌△CMF，
∴AD=CM，DF=FM，
∵DE=EB，
∴EF=$\frac{1}{2}$BM，EF∥BM，
∵BC=9，AD=5，
∴EF=$\frac{1}{2}$×4=2，故①②正确，
∵AD∥BC，
∴$\frac{AO}{OC}$=$\frac{AD}{BC}$=$\frac{5}{9}$，
∴$\frac{{S}_{△AOD}}{{S}_{△DOC}}$=$\frac{5}{9}$，故④正确．
无法判断△AOB与△DOC相似，故③错误，
故答案为①②④．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．