Question

7．将两个大小不同的等腰直角三角形按如图（1）所示的方式放置，A，O，C在同一条直线上，O，B，D在同一条直线上，OA=OB，OC=OD．∠AOB=∠COD=90°，将等腰直角三角形AOB绕点O顺时针旋转（旋转角为α，0°＜α＜45°）得△EOF，使点B的对应点F落在CD边上，如图（2），连接ED，已知OD=2+2$\sqrt{3}$，DF=2$\sqrt{2}$，试解答下面问题：
（1）求证：DE²+DF²=EF²；
（2）求α的度数．（提示：在直角三角形中，一直角边的长等于斜边长的一半时，该直角边所对的角为30°）

Answer 1

分析 （1）由已知条件得到∠BAO=∠ODC=∠ABO=∠C=45°，由旋转的性质得到∠FEO=45°，推出D，E，F，O四点共圆，根据圆内接四边形的性质得到∠EDF+∠EOF=180°，求得∠EDF=90°，根据勾股定理即可得到结论；
（2）根据等腰直角三角形的性质得到CD=2$\sqrt{2}$+2$\sqrt{6}$，求得CF=2$\sqrt{6}$，通过三角形全等得到DE=CF=2$\sqrt{6}$，由tan∠DEF=$\frac{DF}{DE}$=$\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求得∠DEF=30°，于是得到结论．

解答 解：（1）∵OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°，
∴∠BAO=∠ODC=∠ABO=∠C=45°，
∵将等腰直角三角形AOB绕点O顺时针旋转（旋转角为α，0°＜α＜45°）得△EOF，
∴∠FEO=45°，
∴∠OEF=∠ODC，
∴D，E，F，O四点共圆，
∴∠EDF+∠EOF=180°，
∴∠EDF=90°，
∴DE²+DF²=EF²；

（2）∵OD=2+2$\sqrt{3}$，
∴CD=2$\sqrt{2}$+2$\sqrt{6}$，
∵DF=2$\sqrt{2}$，
∴CF=2$\sqrt{6}$，
∵∠EOF=∠COD=90°，
∴∠DOE=∠FOC，
在△DOE与△COF中，$\left\{\begin{array}{l}{OE=OF}\\{∠DOE=∠COF}\\{OD=OC}\end{array}\right.$，
∴△DOE≌△COF，
∴DE=CF=2$\sqrt{6}$，
∵tan∠DEF=$\frac{DF}{DE}$=$\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠DEF=30°，
∵D，E，F，O四点共圆，
∴∠DOF=∠DEF=30°，
∴α=30°．

点评 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，四点共圆，正确的识别图形是解题的关键．