Question

如图所示，在直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点坐标B（6，3），C（2，3）．
（1）求出过O、A、B三点的抛物线解析式；
（2）若直线y=-

1

2

x+b恰好将平行四边形OABC的面积分成相等的两部分，试求b的值；
（3）若y=-

1

2

x+b与x轴、y轴的交点分别记为M、N，（1）中抛物线的对称轴与此抛物线及x轴的交点分别记作点D、点E，试判断△OMN与△OED是否相似？

Answer 1

分析：（1）先分别过点C、B作CF⊥x轴、BH⊥x轴，得出点B、C的坐标，再根据AH=OF=2，OH=6，可得出OA的长，即可得出点A的坐标，然后设出抛物线解析式为y=ax²+bx+c，再把点A、B、O的坐标代入解出a，b，c的值，即可求出答案；
（2）根据题意先连接OB，取OB的中点P，作PQ⊥x轴，得出点P的坐标，过点P的直线一定会平分平行四边形OABC的面积，得出直线y=-

1

2

x+b过点P，即可求出点b的值；
（3）先判断出它们相似，再根据M、N、D、E的坐标得出线段OM、ON、OE、DE的值，再在△OMN与△ODE中，证出

DE

ON

=

OE

OM

，再根据∠MON=∠OED，即可证出△OMN∽△OED；

解答：解：（1）如图，分别过点C、B作CF⊥x轴、BH⊥x轴，垂足分别为点F、点H，则四边形CFHB为矩形，已知B（6，3），C（2，3），
则AH=OF=2，OH=6，可得OA=OH-AH=6-2=4．故点A的坐标为（4，0）．
设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，
由于抛物线过三点A（4，0），B（6，3），O（0，0），
则有

16a+4b+c=0 36a+6b+c=0 c=0

，解之得

a= 1 4 b=-1 c=0

，
故其解析式为：y=

1

4

x2-x；

（2）如图，连接OB，取OB的中点P，作PQ⊥x轴，则PQ=

1

2

，BH=

3

2

，OQ=

1

2

OH=3，
所以点P的坐标为（3，

3

2

），
过点P的直线一定会平分平行四边形OABC的面积，
因此直线y=-

1

2

x+b过点P即可，
故有

3

2

=-

1

2

×3+b，解之得b=3；

（3）答：它们相似，
易知M、N的坐标分别为（6，0）、（0，3）；
点D、点E的坐标分别为（2，-1）、（2，0），
可知线段OM=6，ON=3，OE=2，DE=1，
在△OMN与△ODE中
∵

DE

ON

=

1

3

，

OE

OM

=

2

6

=

1

3

∴

DE

ON

=

OE

OM

又∠MON=∠OED，
∴△OMN∽△OED．

点评：本题主要考查了一次函数的综合；解决此题的关键是根据平行四边性的性质，抛物线的性质，再结合图形进行解得即可．