Question

4．以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点为E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形EFGH．
（1）如图①，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFCH是正方形，如图②，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状（要求证明）；
（2）如图③，当四边形ABCD是一般平行四边形，四边形EFCH是什么四边形？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据△AHD和△DGC是等腰直角三角形，得出∠EHG=90°，从而判定四边形EFGH是矩形，再判断出△AEB≌△DGC，得出HE=HG，即可推出结论，
（2）根据△AEB和△DGC是等腰直角三角形，得出AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB，DG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CD，平行四边形的性质得出AB=CD，求出∠HDG=90°+∠ADC=∠HAE，根据SAS证△HAE≌△HDG，根据全等三角形的性质即可得出HE=HG；证明过程类似求出GH=GF，FG=FE，推出GH=GF=EF=HE，得出菱形EFGH，证△HAE≌△HDG，求出∠AHD=90°，∠EHG=90°，即可推出结论．

解答 证明：（1）四边形EFGH是正方形；
理由：∵△AHD是等腰直角三角形，
∴∠HDA=∠HAD=45°，
∴∠EHG=90°，
同理：∠HEF=∠EFG=90°，
∴四边形EFGH是矩形，
∵△AHD是等腰直角三角形，
∴HA=HD，
在矩形ABCD中，AB=CD，
在△AEB和△DGC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EAB=∠GDC}\\{AB=CD}\\{∠EBA=∠GCD}\end{array}\right.$
∴△AEB≌△DGC，
∴AE=DG，
∴HE=HG．
∴矩形EFGH是正方形．
（2）四边形ABCD是正方形；
理由：∵△AEB和△DGC是等腰直角三角形，
∴AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB，DG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CD，
在平行四边形ABCD中，AB=CD，
∴AE=DG，
∵△AHD和△DGC是等腰直角三角形，
∴∠HDA=∠CDG=45°，
∴∠HDG=∠HDA+∠ADC+∠CDG=90°+∠ADC=∠HAE，
∵△AHD是等腰直角三角形，
∴HA=HD，
∴△HAE≌△HDG，
∴HE=HG．
同理可得：GH=GF，FG=FE，
∵HE=HG，
∴GH=GF=EF=HE，
∴四边形EFGH是菱形，
∵△HAE≌△HDG，
∴∠DHG=∠AHE，
∵∠AHD=∠AHG+∠DHG=90°，
∴∠EHG=∠AHG+∠AHE=90°，
∴四边形EFGH是正方形

点评 本题是四边形综合题，主要考查对正方形的判定，等腰直角三角形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，综合运用性质进行推理是解此题的关键．