Question

如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.
⑴ 求证：△AMB≌△ENB；
⑵ ①当M点在何处时，AM+CM的值最小；
②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；
⑶ 当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长.

Answer 1

解：⑴∵△ABE是等边三角形 ∴BA=BE，∠ABE=60° ∵∠MBN=60° ∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN 即∠BMA=∠NBE 又∵MB=NB， ∴△AMB≌△ENB（SAS）  ⑵①当M点落在BD的中点时，AM+CM的值最小.  ②如图，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小 理由如下： 连接CE交BD于点M 由⑴知，△AMB≌△ENB ∴AM=EN ∵∠MBN=60°，MB=NB ∴△BMN是等边三角形 ∴BM=MN，∠BMN=∠BNM=60°  ∴∠ENB=∠CMB=120° ∴∠ENB+∠BNM=180° ∴点N在EC上 ∴AM+BM+CM=EN+MN+CM 根据“两点之间线段最短”，得EN+MN+CM=EC最短  ∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长.  ⑶