Question

如图，矩形纸片ABCD中，AB=

6

，BC=

10

．第一次将纸片折叠，使点B与点D重合，折痕与BD交于点O₁；O₁D的中点为D₁，第二次将纸片折叠使点B与点D₁重合，折痕与BD交于点O₂；设O₂D₁的中点为D₂，第三次将纸片折叠使点B与点D₂重合，折痕与BD交于点O₃，…．按上述方法折叠，第n次折叠后的折痕与BD交于点O_n，则BO₁=

 

，BO_n=

 

．

Answer 1

分析：（1）结合图形和已知条件，可以推出BD的长度，根据轴对称的性质，即可得出O₁点为BD的中点，很容易就可推出O₁B=2；
（2）依据第二次将纸片折叠使点B与点D₁重合，折痕与BD交于点O₂，O₁D的中点为D₁，可以推出O₂D₁=BO₂=

4- BO1 2

2

=

32-1

22×2-3

；以此类推，即可推出：BO_n=

3n-1

22n-3

．

解答：解：∵矩形纸片ABCD中，AB=

6

，BC=

10

，
∴BD=4，
（1）当n=1时，
∵第一次将纸片折叠，使点B与点D重合，折痕与BD交于点O₁，
∴O₁D=O₁B=2，
∴BO₁=2=

31-1

22×1-3

；

（2）当n=2时，
∵第二次将纸片折叠使点B与点D₁重合，折痕与BD交于点O₂，O₁D的中点为D₁，
∴O₂D₁=BO₂=

4- BO1 2

2

=

3

2

=

32-1

22×2-3

，
∵设O₂D₁的中点为D₂，第三次将纸片折叠使点B与点D₂重合，折痕与BD交于点O₃，
∴O₃D₂=O₃B=

3- BO2 2

2

=

33-1

22×3-3

，
∴以此类推，当n次折叠后，BO_n=

3n-1

22n-3

．

点评：本题考查图形的翻折变换，解直角三角形的有关知识，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质推出结论