Question

9．如图，在平面直角坐标系中，点0是坐标原点．边长为6的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，点E是对角线AC上一点，连接OE、BE，BE的延长线交OA于点P，若△OCE的面积为12．
（I）求点E的坐标：
（2）求△OPE的周长．

Answer 1

分析 （1）过点E作EM⊥y轴于点M，根据面积公式求出EM=4，根据正方形性质求出CM=ME=4，即可求出答案；
（2）根据全等求出BE=OE，求出直线BE的解析式，求出P的坐标，根据勾股定理求出BP，即可求出答案．

解答 解：（1）过点E作EM⊥y轴于点M，

则$\frac{1}{2}$OC•EM=12，
即$\frac{1}{2}$×6×EM=12，
∴EM=4，
∵四边形OABC是正方形，
∴∠MCE=45°，
∴△MEC是等腰直角三角形，
∴MC=ME=4，
∴MO=6-4=2，
∴点E的坐标是（4，2）；

（2）设直线BE的解析式为y=kx+b，
把B（6，6）和点E（4，2）的坐标代入函数解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=6}\\{4k+b=2}\end{array}\right.$
解得：k=2，b=-6，
∴直线BE的解析式为y=2x-6，
令2x-6=0得：x=3，
∴点P的坐标为（3，0），
∴OP=3，
∵四边形ABCO是正方形，
∴OC=CB，∠BCE=∠OCE，
在△OCE和△BCE中
$\left\{\begin{array}{l}{OC=BC}\\{∠OCE=∠BCE}\\{CE=CE}\end{array}\right.$
∴△OCE≌△BCE（SAS），
∴OE=BE，
在Rt△PBA中，由勾股定理可得：PB=$\sqrt{{3}^{2}+{6}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∴△OPE的周长=OE+PE+OP=3+PB=3+3$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，用待定系数法求出一次函数的解析式，勾股定理等知识点，能综合运用知识点进行计算是解此题的关键．