Question

有一个凸十一边形，它由若干个边长为1的正三角形和边长为1的正方形无重叠、无间隙地拼成，求此凸十一边形各内角的大小，并画出一个这样的凸十一边形的草图．

Answer 1

分析：由凸十一边形由若干个边长为1的等边三角形和边长为1的正方形无重叠，则角只有60°，90°，120°，150°这4种可能，然后设出各度数角的个数并列出方程组，求出非负整数解．

解答：解：因为凸十一边形是由正三角形和正方形拼成的，
所以各内角的大小只可能是60°，90°，120°，150°．
设这4个角的个数分别为x、y、n、m，由题意得：

x+y+n+m=11 60x+90y+120n+150m=180(11-2)

，
消去m得：3x+2y+n=1，
∵x，y，n均为非负整数，
∴正整数解为：x=y=0，n=1，m=10，
故凸十一边形一个角是120°，其余10个角都是150°．
如图所示．

点评：此题主要考查了正三角形和正方形的定义，还考查了多边形的内角和定理及镶嵌的概念，是一道综合题，有一定的难度，注意运用各度数角的个数均为非负整数是解本题方程组的关键．