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有一个凸十一边形,它由若干个边长为1的正三角形和边长为1的正方形无重叠、无间隙地拼成,求此凸十一边形各内角的大小,并画出一个这样的凸十一边形的草图.
分析:由凸十一边形由若干个边长为1的等边三角形和边长为1的正方形无重叠,则角只有60°,90°,120°,150°这4种可能,然后设出各度数角的个数并列出方程组,求出非负整数解.
解答:解:因为凸十一边形是由正三角形和正方形拼成的,
所以各内角的大小只可能是60°,90°,120°,150°.
设这4个角的个数分别为x、y、n、m,由题意得:
x+y+n+m=11
60x+90y+120n+150m=180(11-2)

消去m得:3x+2y+n=1,
∵x,y,n均为非负整数,
∴正整数解为:x=y=0,n=1,m=10,
故凸十一边形一个角是120°,其余10个角都是150°.
如图所示.
点评:此题主要考查了正三角形和正方形的定义,还考查了多边形的内角和定理及镶嵌的概念,是一道综合题,有一定的难度,注意运用各度数角的个数均为非负整数是解本题方程组的关键.
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