Question

【题目】如图， 内接于⊙， ， 的平分线与⊙交于点，与交于点，延长，与的延长线交于点，连接， 是的中点，连接.

(1)判断与的位置关系，写出你的结论并证明;

(2)求证: ;

(3)若，求⊙的面积.

Answer 1

【答案】（1）OG⊥CD（2）证明见解析（3）6π

【解析】试题分析：（1）根据G是CD的中点，利用垂径定理证明即可；

（2）先证明△ACE与△BCF全等，再利用全等三角形的性质即可证明；

（3）构造等弦的弦心距，运用相似三角形以及勾股定理进行求解．

试题解析：（1）解：猜想OG⊥CD．证明如下：

如图1，连接OC、OD．∵OC=OD，G是CD的中点，∴由等腰三角形的性质，有OG⊥CD．

（2）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，而∠CAE=∠CBF（同弧所对的圆周角相等）．在Rt△ACE和Rt△BCF中，∵∠ACE=∠BCF=90°，AC=BC，∠CAE=∠CBF，∴Rt△ACE≌Rt△BCF（ASA），∴AE=BF．

（3）解：如图2，过点O作BD的垂线，垂足为H，则H为BD的中点，∴OH=AD，即AD=2OH，又∠CAD=∠BADCD=BD，∴OH=OG．在Rt△BDE和Rt△ADB中，∵∠DBE=∠DAC=∠BAD，∴Rt△BDE∽Rt△ADB，∴，即BD2=ADDE，∴．又BD=FD，∴BF=2BD，∴①，设AC=x，则BC=x，AB= ．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠FAD=∠BAD．在Rt△ABD和Rt△AFD中，∵∠ADB=∠ADF=90°，AD=AD，∠FAD=∠BAD，∴Rt△ABD≌Rt△AFD（ASA），∴AF=AB= ，BD=FD，∴CF=AF﹣AC= ．在Rt△BCF中，由勾股定理，得： ②，由①、②，得，∴x2=12，解得： 或（舍去），∴，∴⊙O的半径长为，∴S⊙O=π（）2=6π．