Question

己知点P（2，3）是反比例函数y=图象上的点．
（1）求过点P且与反比例函数y=图象只有一个公共点的直线的解析式；
（2）Q是反比例函数y=图象在第三象限这一分支上的动点，过点Q作直线使其与反比例函数y=图象只有一个公共点，且与x轴、y轴分别交于C、D两点，设（1）中求得的一直线与x轴、y轴分别交于A、B两点．
①试判断AD、BC的位置关系；
②探索当四边形ABCD面积最小时，四边形ABCD的形状．

Answer 1

（1）解：将P的坐标代入反比例解析式得：3=，即k=6，
则反比例函数解析式为y=，
显然直线x=2与直线y=3与反比例函数图象只有一个交点，满足题意；
设第三条直线解析式为y=ax+b，
∵把P（2，3）代入得：3=2k+b，
即b=3-2k，
∴y=kx+3-2k，
联立直线与反比例解析式得：
，
消去y整理得：kx²+（3-2k）x-6=0，
由题意得到方程有两个相等的实数根，得到△=（3-2k）²+24k=（2k+3）²=0，
解得：k=-，
故满足题意的第三条直线为y=-x+6；

（2）①由（1）求出的直线y=-x+6，令x=0，得到y=6；令y=0，得到x=4，
则A（4，0），B（0，6），即OA=4，OB=6，
设直线CD的解析式为y=mx+n，
则只有一个解，
消去y整理得：mx²+nx-6=0，
△=n²+24m=0，
-=24，
OC•OD=•（-n）=24=OA•OB，即=，
AD∥BC；
②设OC=t，则OD=，
S_{四边形ABCD}=S_△BCD+S_△BDA=×（6+）×r+×（6+）×4
=3t++24
=3（-）²+48，
则当-=0，即t=4时，四边形ABCD面积最小，
此时OA=OC=4，OB=OD=6，又AC⊥BD，
故四边形ABCD为菱形．
分析：（1）把P的坐标代入即可求出反比例函数的解析式，得出直线x=2和直线y=3符合题意，设第三条直线解析式为y=ax+b，把P（2，3）代入得出y=kx+3-2k，联立直线与反比例解析式得出方程kx²+（3-2k）x-6=0，根据根与系数的关系求出k，即可求出直线的解析式；
（2））①由（1）求出的直线y=-x+6，求出A和B的坐标，得出OA=4，OB=6，设直线CD的解析式为y=mx+n，得出方程组，消去y整理后求出-=24，求出OC•OD=OA•OB，得出=，即可得出平行；②设OC=t，则OD=，根据S_{四边形ABCD}=S_△BCD+S_△BDA得出S=3t++24，化成顶点式即可求出t，根据菱形的判定推出即可．
点评：本题综合考查了三角形的面积，反比例函数的解析式，平行线的性质和判定，菱形的判定，根的判别式，方程组等知识点，主要考查学生综合运用性质进行计算的能力，本题综合性比较强，难度偏大，对学生提出较高的要求．