Question

【题目】（1）学校“圆周率”数学社团遇到这样一个题目：

如图1，在中，点在线段上， ，求的长.

经过社团成员讨论发现，过点作，交的延长线于点，通过构造就可以解决问题（如图2）. 请回答：_______，______；

（2）请参考以上解决思路，解决问题：

如图3，在四边形中，对角线与相交于点，，，，，求的长及四边形的面积.

Answer 1

【答案】（1），10；（2），.

【解析】

（1）根据平行线的性质可得出∠ADB=∠OAC=75°，结合∠BOD=∠COA可得出△BOD∽△COA，利用相似三角形的性质可求出OD的值，进而可得出AD的值，由三角形内角和定理可得出∠ABD=75°=∠ADB，由等角对等边可得出AB=AD=10，此题得解；（2）过点B作BE∥AD交AC于点E，同（1）可得出AE=10，在Rt△AEB中，利用勾股定理可求出BE的长度，再在Rt△CAD中，利用勾股定理可求出DC的长，此题得解；四边形ABCD的面积等于△ABC和△ADC的面积之和，利用以求的数据求解即可.

解：（1）∵BD∥AC，

∴∠ADB=∠OAC=75°．

∵∠BOD=∠COA，

∴△BOD∽△COA，

∴ ．

又∵AO=8，

∴OD=AO=2，

∴AD=AO+OD=10．

∵∠BAD=30°，∠ADB=75°，

∴∠ABD=180°-∠BAD-∠ADB=75°=∠ADB，

∴AB=AD=10．

故答案为：，10．

（2）过点B作BE∥AD交AC于点E，如图所示．

∵AC⊥AD，BE∥AD，

∴∠DAC=∠BEA=90°．

∵∠AOD=∠EOB，

∴△AOD∽△EOB，

∴

∵BO：OD=1：4，

∴．

∵AO=8，

∴EO=2，

∴AE=10．

∵∠ABC=∠ACB=75°，

∴∠BAC=30°，AB=AC，

又∵

∴AB=2BE．

在Rt△AEB中，BE2+AE2=AB2，即102+BE2=（2BE）2，

解得：BE=，

∴AB=AC=，AD=．

在Rt△CAD中，AC2+AD2=CD2，
∴CD= ．

=.