Question

如图，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮的方位角为45°，距离为10海里的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9海里/时的速度向小岛B靠拢．我海军舰艇立即以21海里/时的速度去营救．
（1）求舰艇靠近渔轮所需的时间．
（2）设舰艇的航向与AC的夹角为α，求α的正弦值．

Answer 1

解：（1）设靠近渔船所需的时间为t小时，那么AB=21t（海里）．BC=9t（海里）．
根据余弦定理可得：
AB²=AC²+BC²-2AC•BC•cos120°
（21t）²=100+（9t）²-2×10×9t×（-）
化简得：36t²-9t-10=0
解得：t=或t=-（不合题意舍去）
答：靠近渔船需要的时间为小时．

（2）由（1）得出的时间值可得：AB=14，BC=6
根据正弦定理可得：

sin∠CAB=BC•sin120°÷AB=6×÷14=
即sin∠α=．
分析：（1）可先根据题意，画出图形，不难得出∠ACB=120°，已知了军舰和渔船的速度，那么可设时间，并用时间表示出AB，BC的长，已知了AC的长为10，可根据余弦定理来求出时间的值．
（2）根据（1）中求出的时间，可得出AB、BC的长，那么根据正弦定理即可求出∠α的正弦值．
点评：本题主要考查了解直角三角形中方向角的应用问题，画对图形是解题的关键．