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6.如图,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,已知点A(0,2)和点B(1,0),以AB为直角边作Rt△ABC,且AC∥x轴. 
(1)求点C的坐标;
(2)若抛物线y=$\frac{1}{2}$x2+bx+2的对称轴为AC的中垂线.
①求b的值;
②将抛物线向上平移m个单位,使平移后得到的抛物线顶点落在△ABC的内部(不包括△ABC的边界),求m的取值范围(直接写出答案).

分析 (1)过点C作CH⊥x轴于H,根据AC∥x轴得到CH=OA=2,根据∠OAB+∠ABO=90°,得到∠CBH=∠OAB,利用tan∠CBH=$\frac{2}{BH}$=tan∠OAB=$\frac{1}{2}$,求得BH=4,即可求得点C的坐标;
(2)①根据对称轴确定待定系数的b的值即可;
②根据二次函数解析式求出点A、B、C的坐标,再利用待定系数法求出直线BC的解析式,然后求出与对称轴的交点坐标,再根据平移的性质确定出n的取值范围即可.

解答 (1)如图,过点C作CH⊥x轴于H,
∵AC∥x轴,
∴CH=OA=2,
∵∠ABC=90°,
∴∠CBH+∠ABO=90°,
又∵∠OAB+∠ABO=90°,
∴∠CBH=∠OAB,
∴tan∠CBH=$\frac{2}{BH}$=tan∠OAB=$\frac{1}{2}$,
∴BH=4,
∴C(5,2);

(2)①∵线段AC中点坐标为(2.5,2)
∴x=-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{b}{2×\frac{1}{2}}$=2.5,
即b=-2.5;

②∵抛物线y=$\frac{1}{2}$x2-2.5x+2=$\frac{1}{2}$(x-$\frac{5}{2}$)2-$\frac{9}{8}$,
∴顶点坐标为($\frac{5}{2}$,-$\frac{9}{8}$),
由(2)得,点C(5,2),B(1,0),
设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0),
则$\left\{\begin{array}{l}{5k+b=2}\\{k+b=0}\end{array}\right.$,
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$,
∴直线BC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$,
∵二次函数的对称轴为直线x=$\frac{5}{2}$,
∴当x=$\frac{5}{2}$时,y=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{4}$,
∵$\frac{3}{4}$-(-$\frac{9}{8}$)=$\frac{15}{8}$,2-(-$\frac{9}{8}$)=$\frac{25}{8}$
∴当抛物线的顶点落在△ABC的内部时$\frac{15}{8}$<m<$\frac{25}{8}$.

点评 本题是二次函数综合题型,主要利用了根的判别式,待定系数法求二次函数解析式,待定系数法求一次函数解析式以及配方法,(1)根据与x轴的交点的横坐标是整数判断出k的值是解题的关键,(2)求出直线BC与对称轴的交点是解题的关键,作出图形更形象直观.

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