Question

8．如图1，已知抛物线y=ax²+（1-3a）x-3（a＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线y=-x+5与抛物线交于D、E，与直线BC交于P．
（1）求点P的坐标；
（2）求PD•EP的值；
（3）如图2，二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）的图象与x轴的两个交点为A（x₁，0）、B（x₂，0），顶点为C，若△ABC为直角三角形，则b²-4ac=m（m＞0），求m的值．

Answer 1

分析 （1）先确定B、C两点坐标，求出直线BC的解析式，解方程组即可解决问题．
（2）由题意可以假设D（m，-m+5），E（n，-n+5），可得-m+5=am²+（1-3a）m-3，-n+5=an²+（1-3a）n-3，所以a=$\frac{2（4-m）}{{m}^{2}-3m}$=$\frac{2（4-n）}{{n}^{2}-3n}$，化简得（m-n）（4m+$n-mn-12）=0，因为m≠n，所以4m+4n-mm-12=0，即（4-m）（4-n）=4，再利用两点之间的距离公式即可解决问题．
（3）由于抛物线与x轴有两个不同的交点，所以b²-4ac＞0；求得线段AB的表达式，利用公式法可得到顶点C的纵坐标，进而求得斜边AB上的高（设为CD），若△ABC为等腰直角三角形，那么AB=2CD，可根据这个等量关系求出b²-4ac的值．

解答 解：（1）对于抛物线y=ax²+（1-3a）x-3（a＞0），令y=0，
则有ax²+（1-3a）x-3=0，
解得x=3或-$\frac{1}{a}$＜0（在x轴的负半轴上），
∴点B（3，0），
令x=0，则y=-3，
∴C（0，-3），
∴直线BC的解析式为y=x-3，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-3}\\{y=-x+5}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴点P坐标为（4，1）．

（2）由题意可以假设D（m，-m+5），E（n，-n+5），
∵D、E在抛物线上，
∴-m+5=am²+（1-3a）m-3，-n+5=an²+（1-3a）n-3，
∴a=$\frac{2（4-m）}{{m}^{2}-3m}$=$\frac{2（4-n）}{{n}^{2}-3n}$，化简得（m-n）（4m+$n-mn-12）=0，
∵m≠n，
∴4m+4n-mm-12=0，
∴（4-m）（4-n）=4，
由两点之间距离公式得PE=$\sqrt{（4-n）^{2}+（1+n-5）^{2}}$=$\sqrt{2}$（4-n），PD=$\sqrt{（4-m）^{2}+（1+m-5）^{2}}$=$\sqrt{2}$（4-m），
∴PD•PE=2（4-m）（4-n）=8．

（3）令y=ax²+bx+c（a≠0）中y=0，则有ax²+bx+c=0，
∵二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点为A（x₁，0），B（x₂，0），
∴x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$，
∴|x₂-x₁|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{|a|}$．
∵二次函数y=ax²+bx+c=a（x+$\frac{b}{2a}$）²+$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$，
∴点C的坐标为（-$\frac{b}{2a}$，$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$），
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴2×|$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$|=$\frac{\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{|a|}$，
令b²-4ac=m，则有m²-4m=0，
解得：m=4，或m=0，
∵二次函数与x轴有两个不相同的交点，
∴m≠0，
∴m=b²-4ac=4．

点评 本题考查了根与系数的关系、等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质以及解一元二次方程，两点之间距离公式，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，本题属于中档题，难度不大，但解题过程稍显繁琐，解决该题型题目时，利用等腰直角（等边）三角形的性质得出边与边的关系是关键．