Question

如图，在平面直角系中，点A、B分别在x轴、y轴上，A（8，0），B（0，6），点P从点B出发，沿BA以每秒1个单位的速度向点A运动，点Q从点A出发，沿AO以每秒1个单位的速度向点O运动，当点Q到达点O时，两点同时停止运动，设点Q的运动时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示C点坐标；
（2）如图1，连接PQ，过点Q作QC⊥AO交AB于点C，在整个运动过程中，当t为何值时，△CPQ为等腰三角形？
（3）如图2，以QC为直径作⊙D，⊙D与AB的另一个公共点为E．问是否存在某一时刻t，使得以BC、CE、AE的长为边的三角形为直角三角形？若存在，直接写出一个符合题意的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：圆的综合题,解一元二次方程-公式法,等腰三角形的判定与性质,勾股定理,圆周角定理,相似三角形的判定与性质

专题：综合题,分类讨论

分析：（1）根据勾股定理可求出AB=10，易证△AQC∽△AOB，由此可用t的代数式表示出QC、OQ的长，从而解决问题．
（2）可分四种情况（图a、图b、图c、图d），只需用t的代数式表示出相关线段的长，然后建立方程，就可求出对应t的值．
（3）先用t的代数式表示出BC、CE、AE的长，可证AE＞CE，只需分两种情况（BC为斜边、AE为斜边）进行讨论，运用勾股定理建立方程，就可求出符合题意的t的值．

解答：解：（1）∵A（8，0），B（0，6），
∴OA=8，OB=6．
∵∠AOB=90°，
∴AB=10．
∵QC⊥AO，
∴∠CQA=90°=∠BOA．
∴QC∥OB．
∴△AQC∽△AOB．
∴

AQ

AO

=

QC

OB

=

AC

AB

．
∵OA=8，OB=6，AB=10，AQ=t，
∴

t

8

=

QC

6

=

AC

10

．
∴QC=

3

4

t，AC=

5

4

t．
∵OQ=OA-AQ=8-t，
∴点C的坐标为（8-t，

3

4

t）．

（2）①如图a，CP=CQ．

∵CP=AB-BP-AC=10-t-

5

4

t=10-

9

4

t，CQ=

3

4

t，
∴10-

9

4

t=

3

4

t．
解得：t=

10

3

．
②如图b，PC=PQ．

∵∠CQA=90°，
∴∠PCQ+∠QAC=90°，∠PQC+∠AQP=90°．
∵PC=PQ，
∴∠PCQ=∠PQC．
∴∠AQP=∠QAC．
∴PQ=PA．
∴PC=PA．
∴AC=2AP．
∵AC=

5

4

t，AP=10-t，
∴

5

4

t=2（10-t）．
解得：t=

80

13

．
③如图c，CQ=CP．

∵CQ=

3

4

t，CP=

5

4

t-（10-t）=

9

4

t-10，
∴

3

4

t=

9

4

t-10．
解得：t=

20

3

．
④如图d，QC=QP．

过点Q作QN⊥AC于点N，
则有PN=CN=

1

2

PC=

1

2

（

9

4

t-10）=

9

8

t-5．
∵QC∥OB，
∴∠QCN=∠OBA．
∵∠CNQ=∠BOA=90°，
∴△CNQ∽△BOA．
∴

CN

OB

=

CQ

AB

．
∴CN•AB=OB•CQ．
∴（

9

8

t-5）×10=6×

3

4

t．
解得：t=

200

27

．
综上所述：当t取

10

3

或

80

13

或

20

3

或

200

27

时，△CPQ是等腰三角形．

（3）如图e，连接QE．

∵CQ是⊙D的直径，
∴∠CEQ=90°．
∴∠QEA=90°=∠BOA．
∵∠EAQ=∠OAB，
∴△QEA∽△BOA．
∴

AE

OA

=

AQ

AB

．
∴AE=

4

5

t．
∴CE=AC-AE=

5

4

t-

4

5

t=

9

20

t，BC=10-

5

4

t．
∵

4

5

t=

16

20

t＞

9

20

t，∴AE＞CE．
∴CE不可能是斜边．
①BC为斜边，
则有BC²=CE²+AE²．
∴（10-

5

4

t）²=（

9

20

t）²+（

4

5

t）²．
整理得：18t²-625t+2500=0，
解得：t₁=

625-25 337

36

，t₂=

625+25 337

36

∵0≤t≤8，
∴t=

625-25 337

36

．
②AE为斜边，
则有AE²=CE²+BC²．
∴（

4

5

t）²=（

9

20

t）²+（10-

5

4

t）²．
整理得：9t²-200t+800=0．
解得：t₃=

100+20 7

9

，t₄=

100-20 7

9

．
∵0≤t≤8，
∴t=

100-20 7

9

．
综上所述：符合题意的t的值为

625-25 337

36

或

100-20 7

9

．

点评：本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、解一元二次方程、勾股定理等知识，另外还重点考查了分类讨论的数学思想，有一定的难度．