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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    已知：如图，等边三角形ABC中，AB=2，点P是AB边上的任意一点（点P可以与点A重合，但不精英家教网与点B重合），过点P作PE⊥BC，垂足为E；过点E作EF⊥AC，垂足为F；过点F作FQ⊥AB，垂足为Q，设BP=x，AQ=y．
    （1）写出y与x之间的函数关系式；
    （2）当BP的长等于多少时，点P与点Q重合；
    （3）当线段PE、FQ相交时，写出线段PE、EF、FQ所围成三角形的周长的取值范围（不必写出解题过程）
    分析：（1）可在直角三角形BPE中，用x表示出BE的长；同理在直角三角形ECF中，用EC表示出CF的长；同理在直角三角形AFQ中，用AF表示出AQ的长；而AQ=y，由此可得出y，x的函数关系式．
    （2）当P，Q重合时，y+x=2，然后联立（1）的函数式即可求出x的值即BP的长．
    （3）当线段PE，FQ相交时，因为∠PEF=∠EFQ=60°，
    所以由线段PE，EF，FQ所围成的三角形仍是一个等边三角形，其边长等于EF长，
    由勾股定理得：EF=
    		3
    CF=
    		3
    （1-
    x
    4
    ）；
    所以线段PE，EF，FQ所围成的三角形周长为：C=3EF=3
    		3
    （1-
    x
    4
    ）．
    而当线段PE，FQ相交时，BP+AQ≥2，即x+y≥2，x+
    x
    8
    +
    1
    2
    ≥2，x≥
    4
    3
    ；
    所以当线段PE，FQ相交时，（
    4
    3
    ≤x≤2）
    因为C=3
    		3
    （1-
    x
    4
    ）中，C随x增大而减小．
    所以3
    		3
    （1-
    2
    4
    ）≤C≤3
    		3
    （1-
    3
    4
    4
    ），即
    3
    		3
    2
    ≤C≤2
    		3
    ；
    所以当线段PE，FQ相交时，线段PE，EF，FQ所围成的三角形周长C的取值范围为
    3
    		3
    2
    ≤C≤2
    		3
    ．
    解答：精英家教网解：（1）∵△ABC为等边三角形
    ∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA=2
    在△BEP中，∵PE⊥BC，∠B=60°
    ∴∠BPE=30°，
    而BP=x
    ∴BE=
    1
    2
    x，
    ∴EC=2-
    1
    2
    x
    在△CFE中，∵∠C=60°，EF⊥CF
    ∴∠FEC=30°，
    ∴FC=1-
    1
    4
    x
    同理，在△FAQ中可得AQ=
    1
    2
    +
    1
    8
    x
    而AQ=y，
    ∴y=
    1
    2
    +
    1
    8
    x（0＜x≤2）

    （2）当点P与点Q重合时，有AQ+BP=AB=2
    ∴x+y=2（6分）
    ∴x+y=2，y=
    1
    2
    +
    1
    8
    x，解得：x=
    4
    3

    ∴当BP的长为
    4
    3
    时，点P与点Q重合；

    （3）解：设三角形的周长为C，
    当线段PE，FQ相交时，因为∠PEF=∠EFQ=60°，
    所以由线段PE，EF，FQ所围成的三角形仍是一个等边三角形，其边长等于EF长，
    由勾股定理得：EF=
    		3
    CF=
    		3
    （1-
    x
    4
    ）；
    所以线段PE，EF，FQ所围成的三角形周长为：C=3EF=3
    		3
    （1-
    x
    4
    ）．
    而当线段PE，FQ相交时，BP+AQ≥2，即x+y≥2，x+
    x
    8
    +
    1
    2
    ≥2，x≥
    4
    3
    ；
    所以当线段PE，FQ相交时，（
    4
    3
    ≤x≤2）
    因为C=3
    		3
    （1-
    x
    4
    ）中，C随x增大而减小．
    所以3
    		3
    （1-
    2
    4
    ）≤C≤3
    		3
    （1-
    3
    4
    4
    ），即
    3
    		3
    2
    ≤C≤2
    		3
    ；
    所以当线段PE，FQ相交时，线段PE，EF，FQ所围成的三角形周长C的取值范围为
    3
    		3
    2
    ≤C≤2
    		3
    ．
    点评：本题主要考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质以及一次函数的综合应用．
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    （1）“对与两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，两个直角三角形全等”．精英家教网类似地你可以得到：“满足
     
    ，或
     
    ，两个直角三角形相似”．
    （2）“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似地你可以得到“满足
     
    的两个直角三角形相似”．
    请结合下列所给图形，写出已知，并完成说理过程．
    已知：如图，
     
    ．
    试说明Rt△ABC∽Rt△A′B′C′．

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    科目：初中数学 来源：2010-2011学年北京市考数学一模试卷 题型：选择题

    已知：如图,在等边三角形ABC中，M、N分别是AB、AC的中点，D是MN上任意一点，CD、BD的延长线分别与AB、AC交于F、E，若 ，则等边三角

     

    形ABC的边长为

     

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