我们知道,三角形的三条中线一定会交于一点,这一点就叫做三角形的重心。重心有很多美妙的性质,如在关线段比.面积比就有一些“漂亮”结论,利用这些性质可以解决三角形中的若干问题。请你利用重心的概念完成如下问题:
(1)若O是△ABC的重心(如图1),连结AO并延长交BC于D,证明:;
(2)若AD是△ABC的一条中线(如图2),O是AD上一点,且满足,试判断O是△ABC的重心吗?如果是,请证明;如果不是,请说明理由;
(3)若O是△ABC的重心,过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H(均不与△ABC的顶点重合)(如图3),S四边形BCHG.S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积,试探究的最大值。
解:(1)证明:如图1,连结CO并延长交AB于点P,连结PD。
∵点O是△ABC的重心,
∴P是AB的中点,D是BC的中点,PD是△ABC的中位线,AC=2PD, AC // PD,
∠DPO=∠ACO,∠PDO=∠CAO,
△OPD∽△CA,
=
=
,
=
,∴
;
(2)点O是是△ABC的重心。
证明:如图2,作△ABC的中线CP,与 AB边交于点P,与△ABC的另一条中线AD交于点Q,则点Q是△ABC的重心,根据(1)中的证明可知 ,
而 ,点Q与点O重合(是同一个点),所以点O是△ABC的重心;
(3)如图3,连结CO交AB于F,连结BO交AC于E,过点O分别作AB、AC的平行线OM、ON,分别
与AC、AB交于点M、N,
∵点O是△ABC的重心,
∴ =
,
=
,
∵ 在△ABE中,OM//AB,=
=
,OM =
AB,
在△ACF中,ON//AC,=
=
,ON =
AC,
在△AGH中,OM//AH,=
,
在△ACH中,ON//AH,=
,
∴ +
=
+
=1,
+
=1,
+
= 3 ,
令= m ,
= n , m=3-n,
∵ =
,
=
=
= -1= mn-1=(3-n)n-1= -n2 +3n-1= -(n-
)2 +
,
∴ 当 = n =
,GH//BC时,
有最大值
。
附:或
的另外两种证明方法的作图。
方法一:分别过点B、C作AD的平行线BE、CF,分别交直线GH于点E、F。
方法二:分别过点B、C、A、D作直线GH的垂线,垂足分别为E、F、N、M。
下面的图解也能说明问题:
科目:初中数学 来源: 题型:
AO |
AD |
2 |
3 |
AO |
AD |
2 |
3 |
S四边形BCHG |
S△AGH |
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科目:初中数学 来源:2013年初中毕业升学考试(四川绵阳卷)数学(解析版) 题型:解答题
(2013年四川绵阳14分)我们知道,三角形的三条中线一定会交于一点,这一点就叫做三角形的重心.重心有很多美妙的性质,如关于线段比.面积比就有一些“漂亮”结论,利用这些性质可以解决三角形中的若干问题.请你利用重心的概念完成如下问题:
(1)若O是△ABC的重心(如图1),连结AO并延长交BC于D,证明:;
(2)若AD是△ABC的一条中线(如图2),O是AD上一点,且满足,试判断O是△ABC的重心吗?如果是,请证明;如果不是,请说明理由;
(3)若O是△ABC的重心,过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H(均不与△ABC的顶点重合)(如图3),S四边形BCHG,S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积,试探究的最大值.
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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科目:初中数学 来源:2013年四川省绵阳市中考数学试卷(解析版) 题型:解答题
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