Question

如图，矩形ABCD的边长AB=4，BC=8，点E在BC上由B向C运动，点F在CD上以每秒1个单位的速度由C向D运动，已知E、F两点同时运动，且点E的速度是点F的2倍．设运动时间为t，解答下列问题：
（1）设△AEF的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（2）当线段EF与BD平行时，试求△AEF的面积，并确定点E、F的位置；
（3）是否存在t值，使△AEF的面积为△ABE与△ECF的面积和的3倍？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由运动的时间t得到CF=t，BE=2t，
又AB=4，BC=8，
则△AEF的面积为S=S_矩形ABCD-S_△ABE-S_△EFC-S_△ADF
=4×8-×4×2t-×（8-2t）×t-×8×（4-t）
=t²-4t+16；

（2）若EF∥BD，∴△ECF∽△BCD，
∴=，即=，
解得：t=2，
此时E为BC的中点，F为DC的中点，
此时△AEF的面积S=t²-4t+16=4-8+16=12；

（3）存在，理由为：
∵S_△ABE=AB•BE=×4×2t=4t，S_△EFC=EC•CF=×（8-2t）×t=4t-t²，
根据题意得S=3（S_△ABE+S_△EFC），即t²-4t+16=3（4t+4t-t²）
解得：t=（舍去），t=．
则存在t=秒时，△AEF的面积为△ABE与△ECF的面积和的3倍．
分析：（1）由E和F的速度及时间t，表示出BE和CF的长，进而表示出EC和DF的长，然后由矩形ABCD的面积减去三角形ABE的面积减去三角形EFC的面积减去三角形ADF的面积，即可表示出S与t的函数关系式；
（2）若EF与BD平行，得到两对同位角相等，从而得到三角形ECF与三角形BCD相似，根据相似得比例列出关于t的方程，求出方程的解可得出t的值，确定出E和F的位置，并把此时求出的t代入第一问表示出的函数关系式中即可求出此时三角形AEF的面积；
（3）存在，理由为：由AB及BE的长，利用三角形的面积公式表示出三角形ABE的面积，同理表示出三角形ECF的面积，把求出的两面积相加乘以3，与第一问表示出的三角形AEF面积相等，列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值．
点评：此题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，以及一元二次方程的应用，属于动点型题，解答本题关键是利用间接法表示三角形AEF的面积，即利用矩形的面积三个三角形的面积可得出三角形AEF的面积，第三问是探究存在条件型题，解答此类题常常先假设结论成立，从假设出发，看是否导致矛盾，还是与已知条件相符，从而确定探究的结论是否正确．