Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD并于点O，经过点O的直线交AB于E，交CD于F．

（1）求证：OE=OF．
（2）连接DE，BF，则EF与BD满足什么条件时，四边形DEBF是矩形？请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵平行四边形ABCD，

∴OD=OB，DC∥AB，

∴∠FDO=∠EBO，∠DFO=∠OEB，

在△DOF和△BOE中，

，

∴△DOF≌△BOE（AAS），

∴OE=OF；

（2）若EF=BD时，四边形DEBF为矩形，理由为：

∵△DOF≌△BOE，

∴DF=BE，

∵DF∥BE，

∴四边形DEBF为平行四边形，

∵EF=BD，

∴四边形DEBF为矩形．

【解析】(1)由平行四边形的对边平行且相等，得到DC与AB平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，再由对角线互相平分得到OD=OB，利用AAS得到三角形DOF与三角形BOE全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；(2)EF与BD相等时，四边形DEBF是矩形，理由为：由DF与BE平行且相等得到四边形DEBF为平行四边形，利用对角线互相平分的平行四边形是矩形即可得证．
【考点精析】解答此题的关键在于理解平行四边形的性质的相关知识，掌握平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分，以及对矩形的判定方法的理解，了解有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；两条对角线相等的平行四边形是矩形．