Question

如图，直线EF交⊙O于A、B两点，AC是⊙O直径，DE是⊙O的切线，且DE⊥EF，垂足为E．
（1）求证：AD平分∠CAE；
（2）若DE=4cm，AE=2cm，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接OD，得出∠OAD=∠ODA，再证明∠EAD=∠ODA，得出结论；
（2）连接CD，证明△AED∽△ADC，根据勾股定理和相似三角形的性质求出半径．
解答：（1）证明：连接OD，
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD，（1分）
∵DE是⊙O的切线，
∴∠ODE=90°，OD⊥DE，（1分）
又∵DE⊥EF，
∴OD∥EF，（1分）
∴∠ODA=∠DAE，
∴∠DAE=∠OAD，
∴AD平分∠CAE；（2分）

（2）解：连接CD，
∵AC是⊙O直径，
∴∠ADC=90°，（1分）
在Rt△ADE中，DE=4cm，AE=2cm，
∴根据勾股定理得：AD=cm，（1分）
由（1）知：∠DAE=∠OAD，∠AED=∠ADC=90°，
∴△ADC∽△AED，
∴，（1分）即，
∴AC=10，（1分）
∴⊙O的半径是5．（1分）
点评：本题考查了切线的性质及相似三角形的判定和性质，重在知识相互间的联系．