Question

18．如图1，直线y=-x+3分别与y轴，x轴交于A，C两点，以OA，OC为边作矩形OABC，E是边OC上一点（不与点O，C重合）．
（1）求点B的坐标；
（2）如图2，将直线AE绕A点逆时针旋转45°与过E点垂直于AE的直线交于点D，若直线AD的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+3，求直线DE的解析式；
（3）如图3，将线段AE绕A点逆时针旋转90°，得线段AF，连接EF，M为线段EF的中点，求$\frac{MB}{EC}$的值．

Answer 1

分析 （1）由直线AC的解析式即可得出点A、C的坐标，再根据矩形的性质即可得出点B的坐标；
（2）在图2中，过点D作DG⊥x轴，垂足为G，根据全等三角形的判定定理（AAS）可证出△AEO≌△EGD，由全等三角形的性质可得出EG=AO=3，OE=DG，从而得出点D、E的坐标，再结合点D、E的坐标利用待定系数法即可求出直线DE的解析式；
（3）在图3中连接FB，根据全等三角形的判定定理（SAS）即可证出△OAE≌△BAF，设E（a，0）（0＜a＜3），M（m，n），由此可得出点F的坐标，再由点M为为EF的中点由此可用含a的代数式表示出m、n，利用两点间的距离公式求出线段MB的长度与BC做商即可得出结论．

解答 解：（1）∵x=0时，y=-x+3=3，
∴点A（0，3），
同理可得点C（3，0），
∵四边形OABC是矩形，
∴点B的坐标为（3，3）．
（2）在图2中，过点D作DG⊥x轴，垂足为G，则∠DGE=90°，
∵AE⊥ED，
∴∠AED=90°，
∵∠EAD=45°，
∴∠ADE=45°，
∴AE=ED．
∵∠OAE+∠OEA=90°，∠OEA+∠GED=90°，
∴∠OAE=∠GED．
在△AEO和△EGD中，有$\left\{\begin{array}{l}{∠OAE=∠GED}\\{∠AOE=∠EGD=90°}\\{AE=ED}\end{array}\right.$，
∴△AEO≌△EGD（AAS），
∴EG=AO=3，OE=DG．
设D（t，-$\frac{1}{2}$t+3），则t-（-$\frac{1}{2}$t+3）=3，解得t=4，
∴D（4，1），E（1，0）．
设直线DE的解析式为y=kx+b，
将D，E两点的坐标代入y=kx+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=1}\\{k+b=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{3}}\\{b=-\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线DE的解析式为y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{1}{3}$．
（3）在图3中连接FB．
∵∠OAE+∠EAB=90°，∠EAB+∠BAF=90°，
∴∠OAE=∠BAF．
在△OAE和△BAF中，有$\left\{\begin{array}{l}{OA=BA}\\{∠OAE=∠BAF}\\{AE=AF}\end{array}\right.$，
∴△OAE≌△BAF（SAS），
∴BF=OE，∠ABF=∠AOE=90°，
∴F，B，C三点共线，
设E（a，0）（0＜a＜3），则EC=3-a，
由（1）知B（3，3），
∴F（3，3+a）．
设M（m，n），
∵点M为EF的中点，
∴m=$\frac{3+a}{2}$，n=$\frac{3+a}{2}$．
∴MB=$\sqrt{（m-3）^{2}+（n-3）^{2}}$=$\sqrt{（\frac{3+a}{2}-3）^{2}+（\frac{3+a}{2}-3）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（3-a），
∴$\frac{MB}{EC}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}（3-a）}{3-a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了矩形的性质、待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定及性质以及两点间的距离公式，解题的关键是：（1）求出点A、C的坐标；（2）求出点DE的坐标；（3）找出线段MB和线段EC的长度．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的性质找出相等的边角关系是关键．